重積分(multi integral)の計算にあたって変数変換はよく用いられますが、ヤコビアン(Jacobian)の計算が出てくるなど計算がやや複雑です。そこで当記事では具体例の確認を通して重積分の変数変換の流れを抑えやすいように取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$7$章「積分(多変数)」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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Contents
変数変換を用いた重積分の計算の流れ
一般的な形の有界閉領域の積分を取り扱う際に変数変換を用いることを検討すると良い。$x, y$による領域$D$に関して簡単に積分できない場合に、$D$に対応する長方形領域$E$を持つ$u, v$に変数変換を行うことで計算を簡略化できる。
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} f(x,y) \, dx dy &= \int \int_{E} f(x(u,v),y(u,v)) |\det{J(u,v)}| \, du dv \\
\det{J(u,v)} &= \frac{\partial x(u,v)}{\partial u}\frac{\partial y(u,v)}{\partial v} – \frac{\partial y(u,v)}{\partial u}\frac{\partial x(u,v)}{\partial v}
\end{align}
$$
ここで$\det{J(u,v)}$の絶対値を考えることで、$u$と$v$の順序を入れ替えた積分の値を一致させることができることは抑えておくと良い。このことは行列式の列を入れ替えると符号を入れ替えた値になることと対応させて理解しておくと良い。
変数変換を用いた重積分(multi integral)の計算の流れの使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$132$
・$(1)$
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} (x-y) e^{x+y} \, dx dy, \quad D = \{ (x,y) | 0 \leq x+y \leq 2, 0 \leq x-y \leq 2 \}
\end{align}
$$
上記に対して、下記のような変数変換を行うことを考える。
$$
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\begin{align}
u &= x+y \\
v &= x-y
\end{align}
$$
このとき、$x, y$は$u, v$を元に下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
x &= \frac{u+v}{2} \\
y &= \frac{u-v}{2}
\end{align}
$$
よってヤコビ行列式$|\det{J}|$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
|\det{J}| &= \left| \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} – \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} \right| \\
&= \left| \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right) – \frac{1}{2}\frac{1}{2} \right| \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
$$
また、$0 \leq x+y \leq 2, 0 \leq x-y \leq 2$より、$0 \leq u \leq 2, 0 \leq v \leq 2$が対応する。ここで$E = \{ (u,v) | 0 \leq u \leq 2, 0 \leq v \leq 2 \}$とおく。
このとき下記のように重積分の計算を行うことができる。
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} (x-y) e^{x+y} \, dx dy &= \int \int_{E} v e^{u} |\det{J}| \, du dv \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} du \cdot \int_{0}^{2} v dv \\
&= \frac{1}{2} \left[ e^{u} \right]_{0}^2 \cdot \left[ \frac{1}{2}v^2 \right]_{0}^{2} \\
&= \frac{1}{2^2}(e^2-1)(2^2-0) \\
&= e^2 – 1
\end{align}
$$
基本例題$133$
基本例題$134$
・$(1)$
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} e^{x^2+y^2} \, dx dy, & \quad D = \{ (x,y) | y \geq 0, x^2+y^2 \leq a^2 \} \\
a > 0, & \quad a \in \mathbb{R}
\end{align}
$$
上記に対して下記のような変数変換を行うことを考える。
$$
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\begin{align}
x &= r \cos{\theta} \\
y &= r \sin{\theta}
\end{align}
$$
上記の変数変換に対し、ヤコビ行列式$|\det{J}|$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
|\det{J}| &= \left| \frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial \theta} – \frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial y}{\partial r} \right| \\
&= \left| \cos{\theta} \cdot r \cos{\theta} – (-r \sin{\theta}) \cdot \sin{\theta} \right| \\
&= r (\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}) = r
\end{align}
$$
また、$y \geq 0, x^2+y^2 \leq a^2$より、$0 \leq r \leq a, 0 \leq \theta \leq \pi$が対応する。ここで$E = \{ (r,\theta) | 0 \leq r \leq a, 0 \leq \theta \leq \pi \}$とおく。
このとき下記のように重積分の計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} e^{x^2+y^2} \, dx dy &= \int \int_{E} e^{r^2(\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta})} |\det{J}| \, dr d \theta \\
&= \int \int_{E} r e^{r^2} \, dr d \theta \\
&= \int_{0}^{a} \int_{0}^{\pi} r e^{r^2} \, d \theta dr \\
&= \int_{0}^{a} \left[ r e^{r^2} \theta \right]_{\theta=0}^{\theta=\pi} dr \\
&= \int_{0}^{a} \pi r e^{r^2} dr \\
&= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{a} (e^{r^2})’ dr \\
&= \frac{\pi}{2} \left[ e^{r^2} \right]_{0}^{a} \\
&= \frac{\pi}{2}(e^{a^2}-1)
\end{align}
$$
・$(2)$
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} xy^2 \, dx dy, & \quad D = \{ (x,y) | x \geq 0, y \geq 0, x^2+y^2 \leq 1 \}
\end{align}
$$
上記に対して下記のような変数変換を行うことを考える。
$$
\large
\begin{align}
x &= r \cos{\theta} \\
y &= r \sin{\theta}
\end{align}
$$
上記の変数変換に対し、ヤコビ行列式$|\det{J}|$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
|\det{J}| &= \left| \frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial \theta} – \frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial y}{\partial r} \right| \\
&= \left| \cos{\theta} \cdot r \cos{\theta} – (-r \sin{\theta}) \cdot \sin{\theta} \right| \\
&= r (\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}) = r
\end{align}
$$
また、$y \geq 0, x^2+y^2 \leq 1$より、$\displaystyle 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$が対応する。ここで$\displaystyle E = \left\{ (r,\theta) | 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \right\}$とおく。
このとき下記のように重積分の計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} xy^2 \, dx dy &= \int \int_{E} r \cos{\theta} (r \sin{\theta})^2 |\det{J}| \, dr d \theta \\
&= \int_{0}^{1} r^4 dr \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\theta} \sin^{2}{\theta} \, d \theta dr \\
&= \int_{0}^{1} r^4 dr \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3} (\sin^{3}{\theta})’ \, d \theta \\
&= \left[ \frac{1}{5} r^5 \right]_{0}^{1} \cdot \left[ \frac{1}{3} \sin^{3}{\theta} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15}
\end{align}
$$
基本例題$135$
・$(1)$
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} (x-y)^2 \sin{(x-y)} \, dx dy, \quad D = \left\{ (x,y) | 0 \leq x+y \leq \pi, -\frac{\pi}{2} \leq x-y \leq \frac{\pi}{2} \right\}
\end{align}
$$
・$(2)$
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} \sqrt{x^2+y^2} \, dx dy, \quad D = \{ (x,y) | x^2+y^2 \leq 2x \}
\end{align}
$$
上記に対して下記のような変数変換を行うことを考える。
$$
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\begin{align}
x &= r \cos{\theta}, \, y = r \sin{\theta} \\
0 \leq & r \leq 2 \cos{\theta}, \, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
\end{align}
$$
上記の変数変換に対し、ヤコビ行列式$|\det{J}|$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
|\det{J}| &= \left| \frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial \theta} – \frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial y}{\partial r} \right| \\
&= \left| \cos{\theta} \cdot r \cos{\theta} – (-r \sin{\theta}) \cdot \sin{\theta} \right| \\
&= r (\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}) = r
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle E = \left\{ (r,\theta) | 0 \leq r \leq 2 \cos{\theta}, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \right\}$とおく。
このとき下記のように重積分の計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} \sqrt{x^2+y^2} \, dx dy &= \int \int_{E} \sqrt{r^2(\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta})} |r| \, dr d \theta \\
&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \cos{\theta}} r^2 \, dr d \theta \\
&= \frac{1}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[ r^3 \right]_{r=0}^{r=2 \cos{\theta}} d \theta \\
&= \frac{8}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{3}{\theta} d \theta \\
&= \frac{2}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{3 \theta} + 3 \cos{\theta}) d \theta \\
&= \frac{4}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{3 \theta} + 3 \cos{\theta}) d \theta \\
&= \frac{4}{3} \left[ \frac{1}{3}\sin{3 \theta} + 3 \sin{\theta} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{4}{3} \left( -\frac{1}{3} + 3 \right) \\
&= \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{9}
\end{align}
$$
途中計算では三倍角の公式の$\cos{3 \theta} = 4 \cos^{3}{\theta} – 3\cos{\theta}$を元に変形を行なった。三倍角の公式の導出に関しては下記で詳しく取り扱った。
・$(2)$の変数変換の考察
$$
\large
\begin{align}
x &= r \cos{\theta}, \, y = r \sin{\theta} \\
0 \leq & r \leq 2 \cos{\theta}, \, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
\end{align}
$$
以下、「上記の変数変換」と「不等式$x^2+y^2 \leq 2x$」の対応に関して確認を行う。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
k = np.arange(0.2, 1.2, 0.2)
theta = np.linspace(-np.pi/2., np.pi/2., 100)
for i in range(k.shape[0]):
r = 2*k[i]*np.cos(theta)
x, y = r*np.cos(theta), r*np.sin(theta)
plt.plot(x,y,label="k: {:.1f}".format(k[i]))
plt.legend()
plt.show()・実行結果
上記の計算にあたって、kはrにかける倍率であり0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0の$5$つの倍率に関して描画を行なった。
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