数学検定$1$級は大学で取り扱う数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $1$級」の数学検定$1$級の内容に基づき、過去問題①の解答例と解説の作成を行いました。
・数学検定まとめ
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Contents
$1$次：計算技能検定
問題$1 \,$
問題$2 \,$ 複素数と方程式
$$
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\begin{align}
z^{2} – z + i \bar{z} = i
\end{align}
$$
複素数$z$を実数$x,y$を用いて$z = x+yi$のようにおくと、$\bar{z} = x-yi$が成立する。$z = x+yi, \bar{z} = x-yi$を$z^{2} – z + i \bar{z} = i$に代入すると下記が得られる。
$$
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\begin{align}
(x+yi)^{2} – (x+yi) + i(x-yi) &= i \\
(x^2+2xyi+y^2i^2) – (x+yi) + (xi-yi^2) &= i \\
(x^2+2xyi-y^2) – (x+yi) + (xi+y) &= i \\
(x^2-y^2-x+y) + (2xy-y+x-1)i &= 0 \\
((x+y)(x-y)-(x-y)) + (2xy-y+x-1)i &= 0 \\
(x+y-1)(x-y) + (2xy-y+x-1)i &= 0
\end{align}
$$
ここで上記が成立するので$(x+y-1)(x-y)=0$かつ$2xy-y+x-1=0$が成立する。$(x+y-1)(x-y)=0$より$x=-y+1$または$x=y$が成り立つ。以下、それぞれの場合に関して場合分けを行って考える。
・$x = -y+1$の場合
$$
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\begin{align}
2xy-y+x-1 &= 0 \\
2(-y+1)y – y + (-y+1) – 1 &= 0 \\
-2y^2 + 2y – y – y + 1 – 1 &= 0 \\
-2y^2 &= 0 \\
y &= 0
\end{align}
$$
・$x = y$の場合
$$
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\begin{align}
2xy-y+x-1 &= 0 \\
2y^2-y+y-1 &= 0 \\
2y^2 &= 1 \\
y^2 &= \frac{1}{2} \\
y &= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}
$$
上記より、$x=1,y=0$または$\displaystyle x = y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$の場合元の式が成立するので複素数$z$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
z = 1, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
\end{align}
$$
問題$3 \,$ 行列式と余因子展開
$$
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\begin{align}
|A| = \left| \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right|
\end{align}
$$
上記の$|A|$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
|A| &= \left| \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{array} \right| \\
&= (-1)^{1+2} \left| \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{array} \right| = -\left| \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & -2 \end{array} \right| \\
&= -(-1)^{1+2} \left| \begin{array}{cccc} 2 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} 0 & 4 & 7 & 4 \\ 0 & 2 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \end{array} \right| \\
&= (-1)^{3+1} \left| \begin{array}{ccc} 4 & 7 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \\ -1 & -2 & -2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & -2 \end{array} \right| \\
&= (-1)^{3+1} \left| \begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 1 & -1 \end{array} \right| \\
&= 1+4 = 5
\end{align}
$$
問題$4 \,$ 対称行列と交代行列
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記に対し、対称行列$S$と交代行列$T$を用いて$A=S+T$のように表すことを以下考える。対称行列と交代行列の定義より、$S^{\mathrm{T}}=S, T^{\mathrm{T}}=-T$が成立するので、$S$と$T$は下記のようにおくことができる。
$$
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\begin{align}
S = \left( \begin{array}{ccc} 1 & s_{12} & s_{13} \\ s_{21} & 2 & s_{23} \\ s_{31} & s_{32} & -3 \end{array} \right), \quad T = \left( \begin{array}{ccc} 0 & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & 0 & t_{23} \\ t_{31} & t_{32} & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
ここで$A=S+T$と$s_{ij}=s_{ji}, t_{ij}=-t_{ji}$より、下記が成立する。
$$
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\begin{align}
s_{21}+t_{21} &= -2 \quad (1) \\
s_{21}-t_{21} &= 4 \quad (2) \\
s_{31}+t_{31} &= 0 \quad (3) \\
s_{31}-t_{31} &= 0 \quad (4) \\
s_{32}+t_{32} &= 3 \quad (5) \\
s_{32}-t_{32} &= 1 \quad (6)
\end{align}
$$
$(1),(2)$より$s_{21}=1,t_{21}=-3$、$(3),(4)$より$s_{31}=t_{31}=0$、$(5),(6)$より$s_{32}=2,t_{32}=1$が成立する。また、$s_{ij}=s_{ji}, t_{ij}=-t_{ji}$より$s_{12}=1,s_{13}=0,s_{23}=2,t_{12}=3,t_{13}=0,t_{23}=-1$が成立する。よって$S,T$は下記のように得られる。
・$[1]$
$$
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\begin{align}
S = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
T = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
問題$5 \,$ $\lambda=1$の指数分布のモーメント母関数
$$
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\begin{align}
f(x) &= e^{-x}, \quad x \geq 0 \\
&= 0, \quad x < 0
\end{align}
$$
・$[1]$
確率密度関数が$f(x)$の際のモーメント母関数を$m(t)=E[e^{tX}]$とおくと、$m(t)$は下記のように求められる。
$$
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\begin{align}
m(t) &= E[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \cdot f(x) dx \\
&= \int_{0}^{\infty} e^{tx} \cdot e^{-x} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} e^{-(1-t)x} dx \\
&= \left[ \frac{-1}{1-t} e^{(1-t)x} \right]_{0}^{\infty} \\
&= \frac{-1}{1-t} (0-1) = \frac{1}{1-t}
\end{align}
$$
上記の計算にあたっては$|1-t|<1$より、$\displaystyle \lim_{x \to \infty} e^{(1-t)x} = 0$を前提に考えた。
・$[2]$
$m'(t)=E[Xe^{tX}]$より$m'(0)=E[X]$が成立し、同様に考えることで$m^{”}(0)=E[X^2], m^{(3)}(0)=E[X^3]$が成立する。$m(t)=(1-t)^{-1}$より、$m'(t),m^{”}(t),m^{(3)}(t)$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
m'(t) &= -1(1-t)^{-2} \cdot (1-t)’ = (1-t)^{-2} \\
m^{”}(t) &= -2(1-t)^{-3} \cdot (1-t)’ = 2(1-t)^{-3} \\
m^{(3)}(t) &= -6(1-t)^{-4} \cdot (1-t)’ = 6(1-t)^{-4}
\end{align}
$$
よって$E[X^3]=m^{(3)}(0)=6$である。また、$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
V[X] &= E[X^2] – E[X]^2 \\
&= m^{”}(0) – m'(0)^2 \\
&= 2-1 = 1
\end{align}
$$
したがって$X$の歪度は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\frac{E[X^3]}{(V[X])^{\frac{3}{2}}} &= \frac{6}{1^{\frac{3}{2}}} \\
&= 6
\end{align}
$$
・解説
この問題は指数分布のパラメータが$\lambda=1$の場合に対応する。指数分布のモーメント母関数に関しては詳しくは下記で取り扱った。
連続型確率分布の数式まとめ： 指数分布
統計学実践ワークブック 第$2$章 例題$2$.$3$
問題$6 \,$
問題$7 \,$ 変数変換による重積分の計算
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} \frac{2x^2+xy-y^2}{x^2+2xy+y^2+1} \, dx dy, \quad D = \{ (x,y) | 0 \leq 2x-y \leq 6, 1 \leq x+y \leq 3 \}
\end{align}
$$
上記に対し、$u = 2x-y, v = x+y$のように変数変換を行うことを考える。このとき$x, y$は$u, v$を用いて下記のように表すことができる。
$$
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\begin{align}
x &= \frac{u+v}{3} \\
y &= \frac{-u+2v}{3}
\end{align}
$$
このとき変数変換におけるヤコビアン$|\det{J}|$は下記のように考えられる。
$$
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\begin{align}
|\det{J}| &= \left| \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} \\ \displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{1}{3} & \displaystyle \frac{1}{3} \\ \displaystyle -\frac{1}{3} & \displaystyle \frac{2}{3} \end{array} \right| \\
&= \left| \frac{2}{9} + \frac{1}{9} \right| = \frac{1}{3}
\end{align}
$$
よって、$E = \{ (u,v) | 0 \leq u \leq 6, 1 \leq v \leq 3 \}$とおくと、重積分は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} \frac{2x^2+xy-y^2}{x^2+2xy+y^2+1} \, dx dy &= \int \int_{D} \frac{(2x-y)(x+y)}{(x+y)^2+1} \, dx dy \\
&= \int \int_{E} \frac{uv}{v^2+1} |\det J| \, du dv \\
&= \frac{1}{3} \int_{0}^{6} u du \cdot \int_{1}^{3} \frac{v}{v^2+1} dv \\
&= \frac{1}{3} \int_{0}^{6} u du \cdot \frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{(v^2+1)’}{v^2+1} dv \\
&= \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2}u^2 \right]_{0}^{6} \cdot \frac{1}{2} \left[ \log{(v^2+1)} \right]_{1}^{3} \\
&= 6 \cdot \frac{1}{2} (\log{10} – \log{2}) \\
&= 3 \log{5}
\end{align}
$$
・解説
この問題で取り扱った変数変換は確率密度関数の変数変換の際にも同様な計算が出てくるので抑えておくと良いです。変数変換を用いた重積分の計算に関しては下記で詳しく取りまとめを行ないました。
$2$次：数理技能検定
問題$1 \,$
問題$2 \,$
問題$3 \,$
問題$4 \,$
問題$5 \,$
問題$6 \,$ 対称行列の固有値・固有ベクトルの計算
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cccc} 10 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 10 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 10 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 10 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の行列$A$に関する固有多項式$\det{(A – \lambda I_4)}$は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
\det{(A – \lambda I_4)} &= \left| \begin{array}{cccc} 10-\lambda & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 10-\lambda & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 10-\lambda & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 10-\lambda \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{cccc} 0 & 1-(10-\lambda)^2 & -18+2 \lambda & -18+2 \lambda \\ 1 & 10-\lambda & 2 & 2 \\ 0 & -18+2\lambda & 6-\lambda & -3 \\ 0 & -18+2\lambda & -3 & 6-\lambda \end{array} \right| \\
&= 1 \cdot (-1)^{2+1} \left| \begin{array}{ccc} 1-(10-\lambda)^2 & -18+2 \lambda & -18+2 \lambda \\ -18+2\lambda & 6-\lambda & -3 \\ -18+2\lambda & -3 & 6-\lambda \end{array} \right| \\
&= – \left| \begin{array}{ccc} -(\lambda-9)(\lambda-11) & -18+2\lambda & -18+2\lambda \\ 0 & 9-\lambda & -9+\lambda \\ -18+2\lambda & -3 & 6-\lambda \end{array} \right| = – \left| \begin{array}{ccc} -(\lambda-9)(\lambda-11) & -18+2\lambda & -2(18-2\lambda) \\ 0 & 9-\lambda & 0 \\ -18+2\lambda & -3 & 3-\lambda \end{array} \right| \\
&= (\lambda-9) (-1)^{2+2} \left| \begin{array}{ccc} -(\lambda-9)(\lambda-11) & 4(\lambda-9) \\ 2(\lambda-9) & -(\lambda-3) \end{array} \right| \\
&= (\lambda-9)[(\lambda-9)(\lambda-11)(\lambda-3) – 8(\lambda-9)^2] \\
&= (\lambda-9)^2[(\lambda-11)(\lambda-3)-8(\lambda-9)] \\
&= (\lambda-9)^2(\lambda^2 – 22\lambda + 105) \\
&= (\lambda-9)^2(\lambda-7)(\lambda-15)
\end{align}
$$
よって固有方程式$\det{(A – \lambda I_4)}=0$の解は$\lambda=7,9,15$であり、$\lambda=9$が重解である。以下、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルの導出を行う。
・$\lambda=7$
固有ベクトルを$\displaystyle \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{array} \right)$とおくとき、$A\mathbf{x}=7\mathbf{x}$は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
A\mathbf{x} &= 7\mathbf{x} \\
\left( \begin{array}{cccc} 10 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 10 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 10 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 10 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) &= 7 \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{c} 10x_1+x_2+2x_3+2x_4 \\ x_1+10x_2+2x_3+2x_4 \\ 2x_1+2x_2+10x_3+x_4 \\ 2x_1+2x_2+x_3+10x_4 \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 7x_1 \\ 7x_2 \\ 7x_3 \\ 7x_4 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の$1$行目$-$$2$行目を計算することで$x_1=x_2$が得られ、$3$行目$-$$4$行目を計算することで$x_3=x_4$が得られる。また、$x_1=x_2, x_3=x_4$を代入すると$x_1=-x_3$が得られる。よって$\lambda=7$に対応する固有ベクトルは下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$\lambda=15$
固有ベクトルを$\displaystyle \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right)$とおくとき、$A\mathbf{x}=7\mathbf{x}$は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
A\mathbf{x} &= 15\mathbf{x} \\
\left( \begin{array}{cccc} 10 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 10 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 10 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 10 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) &= 15 \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{c} 10x_1+x_2+2x_3+2x_4 \\ x_1+10x_2+2x_3+2x_4 \\ 2x_1+2x_2+10x_3+x_4 \\ 2x_1+2x_2+x_3+10x_4 \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 15x_1 \\ 15x_2 \\ 15x_3 \\ 15x_4 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の$1$行目$-$$2$行目を計算することで$x_1=x_2$が得られ、$3$行目$-$$4$行目を計算することで$x_3=x_4$が得られる。また、$x_1=x_2, x_3=x_4$を代入すると$x_1=x_3$が得られる。よって$\lambda=7$に対応する固有ベクトルは下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$\lambda=9$
固有ベクトルを$\displaystyle \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{array} \right)$とおくとき、$A\mathbf{x}=9\mathbf{x}$は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
A\mathbf{x} &= 9\mathbf{x} \\
\left( \begin{array}{cccc} 10 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 10 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 10 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 10 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) &= 9 \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{c} 10x_1+x_2+2x_3+2x_4 \\ x_1+10x_2+2x_3+2x_4 \\ 2x_1+2x_2+10x_3+x_4 \\ 2x_1+2x_2+x_3+10x_4 \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 9x_1 \\ 9x_2 \\ 9x_3 \\ 9x_4 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より$x_1+x_2=0, x_3+x_4=0$が得られる。$A$が対称行列であるので下記のような$2$つの直交する固有ベクトルが得られる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right), \, \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)
\end{align}
$$