数学検定準$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 準$1$級」より、第$7$章の「統計処理」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。
・数学検定まとめ
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計算技能問題
問題.$1$
問題.$2$
待ち時間を$x$、$x$の確率密度関数を$f(x)$とおくと、$f(x)$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
f(x) = \frac{1}{6}, \quad 0 \leq x \leq 6
\end{align}
$$
よって、待ち時間の平均$E[X]$と分散$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$は期待値の定義に基づいて下記のように計算できる。
・平均$E[X]$
$$
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\begin{align}
E[X] &= \int_{0}^{6} x \times f(x) dx \\
&= \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x dx \\
&= \frac{1}{6} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{6} \\
&= \frac{\cancel{6} \times 6}{\cancel{6} \times 2} \\
&= 3
\end{align}
$$
・分散$E[X]$
$$
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\begin{align}
E[X^2] &= \int_{0}^{6} x^2 \times f(x) dx \\
&= \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x^2 dx \\
&= \frac{1}{6} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{6} \\
&= \frac{\cancel{6} \times 6 \times 6}{\cancel{6} \times 3} \\
&= 12 \\
V[X] &= E[X^2] – E[X]^2 \\
&= 12 – 3^2 = 3
\end{align}
$$
問題.$3$
$$
\large
\begin{align}
f(x) &= \frac{1}{2}, \quad 0 \leq x \leq 1 \\
&= (a+1)x^{a}, \quad 1 \leq x \leq \frac{9}{4}
\end{align}
$$
・$[1]$
定数$a$は下記の計算より求められる。
$$
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\begin{align}
\int_{0}^{\frac{9}{4}} f(x) dx &= 1 \\
\int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{\frac{9}{4}} f(x) dx &= 1 \\
\frac{1}{2} + \left[ \frac{\cancel{a+1}}{\cancel{a+1}} x^{a+1} \right]_{1}^{\frac{9}{4}} &= 1 \\
\left( \frac{9}{4} \right)^{a+1} – 1^{a+1} &= \frac{1}{2} \\
\left( \frac{9}{4} \right)^{a+1} &= \frac{3}{2} = \left( \frac{9}{4} \right)^{\frac{1}{2}} \\
a+1 &= \frac{1}{2} \\
a &= -\frac{1}{2}
\end{align}
$$
・$[2]$
確率$P(0 \leq X \lt 2)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
P(0 \leq X \lt 2) &= \int_{0}^{2} f(x) dx \\
&= \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx \\
&= \frac{1}{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} dx \\
&= \frac{1}{2} + \left[ \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}} x^{\frac{1}{2}} \right]_{1}^{2} \\
&= \frac{1}{2} + \sqrt{2} – 1 \\
&= \sqrt{2} – \frac{1}{2} = 0.9142…
\end{align}
$$