数学検定準$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 準$1$級」の数学検定準$1$級の内容に基づき、過去問題③の解答例と解説の作成を行いました。
・数学検定まとめ
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Contents
$1$次：計算技能検定
問題$1$ $3$次の恒等式
$$
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\begin{align}
x^3 + x = (x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + 2 \quad (1)
\end{align}
$$
$(1)$式の右辺は下記のように展開できる。
$$
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\begin{align}
& (x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + 2 \\
&= x^3 + (-3+a)x^2 + (3-2a+b)x + (-1+a-b+2) \\
&= x^3 + (-3+a)x^2 + (3-2a+b)x + (1+a-b)
\end{align}
$$
$(1)$が恒等式である場合、下記が成立する。
$$
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\begin{align}
-3 + a &= 0 \\
3 – 2a + b &= 1 \\
1 + a – b &= 0
\end{align}
$$
上記を解いて$a=3,b=4$が得られる。
問題$2$
問題$3$ 円の方程式
中心$(a,b)$、半径$r^2$の円の方程式は下記のように表すことができる。
$$
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\begin{align}
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, \quad r>0
\end{align}
$$
上記が$3$点$(0,0), (-1,-3), (4,-2)$を通ることより下記が成立する。
$$
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\begin{align}
(0-a)^2 + (0-b)^2 &= r^2 \\
(-1-a)^2 + (3-b)^2 &= r^2 \\
(4-a)^2 + (-2-b)^2 &= r^2
\end{align}
$$
上記をそれぞれ展開すると下記が得られる。
$$
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\begin{align}
a^2 + b^2 &= r^2 \quad (1) \\
a^2 + 2a + 1 + b^2 – 6b + 9 &= r^2 \quad (2) \\
a^2 – 8a + 16 + b^2 + 4b + 4 &= r^2 \quad (3)
\end{align}
$$
$(1)$式を$(2)$式と$(3)$式にそれぞれ代入し、整理することで下記が得られる。
$$
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\begin{align}
a – 3b &= 5 \quad (2)’ \\
2a – b &= 5 \quad (3)’
\end{align}
$$
上記を解くと$a=2, b=-1$が得られる。また、$r>0$と$(1)$式より$r = \sqrt{5}$が得られる。よって、求める円の方程式は$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 5$である。
問題$4$
問題$5$ 置換積分
①
$$
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\begin{align}
\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx \quad (1)
\end{align}
$$
上記の計算にあたって$t=\sqrt{x+1}$とおく。このとき下記が成立する。
$$
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\begin{align}
t &= \sqrt{x+1} \\
t^2 &= x+1 \\
x &= t^2-1
\end{align}
$$
また、$\displaystyle \frac{dt}{dx} = 2t$より、$dx = 2t dt$のように表せる。このとき$(1)$式は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx &= \int \frac{t^2-1}{\cancel{t}} \cdot 2 \cancel{t} dt \\
&= \int 2(t^2-1) dt \\
&= \frac{2}{3}t^3 – 2t + C \\
&= \frac{2}{3}t(t^2-3) + C \\
&= \frac{2}{3}(x+1-3)\sqrt{x+1} + C \\
&= \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} + C
\end{align}
$$
②
$$
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\begin{align}
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx \quad (2)
\end{align}
$$
①の導出結果より、$(2)$式は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx &= \left[ \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{2}{3}(1-2)\sqrt{1+1} – \frac{2}{3}(0-2)\sqrt{0+1} \\
&= \frac{4-2\sqrt{2}}{3}
\end{align}
$$
問題$6$ 放物線の方程式
焦点が$(0,0)$、準線が$y=2$の放物線の方程式は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
(x-0)^2+(y-0)^2 &= (y-2)^2 \\
x^2 + \cancel{y^2} &= \cancel{y^2} – 4y + 4 \\
y &= -\frac{1}{4}x^2 + 1
\end{align}
$$
問題$7$ ネイピア数$e$の定義と極限値の計算
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{2^x-1}{x} \quad (1)
\end{align}
$$
上記の極限値の計算にあたって$t = 2^x-1$とおく。このとき下記が成立する。
$$
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\begin{align}
t &= 2^x-1 \\
2^x &= t+1 \\
x &= \log_{2}{(t+1)} = \frac{\log_{e}{(t+1)}}{\log_{e}{2}}
\end{align}
$$
よって$(1)$式の極限値は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{2^x-1}{x} &= \lim_{t \to 0} \frac{t}{\displaystyle \frac{\log_{e}{(t+1)}}{\log_{e}{2}}} \\
&= \lim_{t \to 0} \frac{t}{\log_{e}{(t+1)}} \log_{e}{2} \\
&= \lim_{t \to 0} \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{t}\log_{e}{(t+1)}} \log_{e}{2} \\
&= \lim_{t \to 0} \frac{1}{\displaystyle \log_{e}{(t+1)^{\frac{1}{t}}}} \log_{e}{2} \\
&= \lim_{t \to 0} \frac{1}{\displaystyle \log_{e}{(1+t)^{\frac{1}{t}}}} \log_{e}{2} \\
&= \frac{1}{\log_{e}{e}} \log_{e}{2} = \log_{e}{2}
\end{align}
$$
・解説
上記の計算にあたってはネイピア数$e$の定義を用いました。詳しくは下記で取り扱いを行ないました。