数学検定準$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 準$1$級」より、第$1$章の「関数と極限」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。
・数学検定まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_certificate
①弧度法、②合成関数と逆関数、③分数関数と無理関数
計算技能問題
問題.$1$
問題.$2$
問題.$3$
問題.$4$
数理技能問題
問題.$1$
問題.$2$
④数列の極限
計算技能問題
問題.$1$
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2} \quad (1)
\end{align}
$$
$\displaystyle \sum$に関する公式より、分子と分母はそれぞれ下記のように計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 &= \sum_{k=1}^{n} k^2 \\
&= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2 &= \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 \\
&= 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 – 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \\
&= \frac{1}{6} \cdot 4n(n+1)(2n+1) – 2n(n+1) + n \\
&= \frac{1}{6}n \left[ 4(n+1)(2n+1) – 12(n+1) + 6 \right] \\
&= \frac{1}{6}n (8n^2 – 2)
\end{align}
$$
よって、$(1)$式は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2} &= \lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle \cancel{\frac{1}{6}n} (n+1)(2n+1)}{\displaystyle \cancel{\frac{1}{6}n} (8n^2 – 2)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{(1+1/n)(2+1/n)}{(8 – 2/n^2)} \\
&= \frac{1 \cdot 2}{8} = \frac{1}{4}
\end{align}
$$
問題.$2$
問題.$3$
特性方程式$\displaystyle \alpha = 4 + \frac{3}{5}\alpha$の解が$\alpha=10$であることより、漸化式$\displaystyle a_{n+1} = 4 + \frac{3}{5}a_{n}$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
a_{n+1} &= 4 + \frac{3}{5}a_{n} \\
a_{n+1} – 10 &= \frac{3}{5}(a_{n}-10)
\end{align}
$$
上記より数列$\{a_{n}-10\}$が公比$\displaystyle \frac{3}{5}$の等比数列であることがわかる。よって$a_{n}-10$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
a_{n} – 10 &= \frac{3}{5}(a_{n-1}-10) \\
&= \cdots \\
&= \left( \frac{3}{5} \right)^{n-1} (a_{1}-10)
\end{align}
$$
よって一般項$a_{n}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
a_{n} &= \left( \frac{3}{5} \right)^{n-1} (a_{1}-10) + 10 \\
&= -9 \left( \frac{3}{5} \right)^{n-1} + 10
\end{align}
$$
したがって、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = 10$が成立する。
数理技能問題
問題.$1$
問題.$2$
問題.$3$
⑤関数の極限、⑥関数の連続
計算技能問題
問題.$1$
問題.$2$
数理技能問題
問題.$1$
問題.$2$
問題.$3$
・$[1]$
$x \to \infty$かつ$\log{x}$が単調増加であるので、$x$に関して下記の不等号が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\log{x^2}}{\log{x}} < &\frac{\log{(x^2+1)}}{\log{x}} < \frac{\log{(x^2 + x^2)}}{\log{x}} \\
\frac{2\log{x}}{\log{x}} < &\frac{\log{(x^2+1)}}{\log{x}} < \frac{\log{(2x^2)}}{\log{x}} \\
2 < &\frac{\log{(x^2+1)}}{\log{x}} < 2 + \frac{\log{2}}{\log{x}}
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( 2 + \frac{\log{2}}{\log{x}} \right) = 2$より、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to \infty} \frac{\log{(x^2+1)}}{\log{x}} = 2
\end{align}
$$
・別解
（左辺）-（右辺）より示すこともできる。問題集に詳しい解答があるので省略する。
・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
f(x) = x^2 (\log{x})^2 \left[ \frac{1}{\log{x}} – \frac{2}{\log{(x^2+1)}} \right]
\end{align}
$$
上記のように$f(x)$をおくとき、$f(x)$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
f(x) &= x^2 (\log{x})^2 \left[ \frac{1}{\log{x}} – \frac{2}{\log{(x^2+1)}} \right] \\
&= x^2 (\log{x})^{\cancel{2}} \times \frac{\log{(x^2+1)} – 2\log{x}}{\cancel{\log{x}} \cdot \log{(x^2+1)}} \\
&= \frac{\log{x}}{\log{(x^2+1)}} \times x^2 \times (\log{(x^2+1)} – \log{x^2}) \\
&= \frac{\log{x}}{\log{(x^2+1)}} \times x^2 \times \log{\frac{x^2+1}{x^2}} \\
&= \frac{\log{x}}{\log{(x^2+1)}} \times x^2 \times \log{ \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) } \\
&= \frac{\log{x}}{\log{(x^2+1)}} \times \log{ \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right)^{x^2} }
\end{align}
$$
よって$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$の値は下記のように求められる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to \infty} f(x) &= \lim_{x \to \infty, x^2 \to \infty} \frac{\log{x}}{\log{(x^2+1)}} \times \log{ \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right)^{x^2} } \\
&= \frac{1}{2} \times \log{e} = \frac{1}{2}
\end{align}
$$