数学検定準$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 準$1$級」の数学検定準$1$級の内容に基づき、過去問題②の解答例と解説の作成を行いました。
・数学検定まとめ
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Contents
$1$次：計算技能検定
問題$1$ $2$次方程式の解と係数の関係
$5(x-\alpha)(x-\beta)$を展開すると下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
5(x-\alpha)(x-\beta) = 5x^2 – 5(\alpha+\beta)x + \alpha\beta
\end{align}
$$
上記の$5x^2-3x-1$の対応を考えることで下記が得られる。
$$
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\begin{align}
\alpha+\beta &= \frac{3}{5} \\
\alpha\beta &= -\frac{1}{5}
\end{align}
$$
また、$(\alpha+\beta)^3$は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
(\alpha+\beta)^3 &= \alpha^3 + 3 \alpha^2\beta + 3 \alpha\beta^2 + \beta^3 \\
&= \alpha^3 + \beta^3 + 3 \alpha\beta(\alpha+\beta)
\end{align}
$$
よって、$\alpha^3 + \beta^3$の値は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\alpha^3 + \beta^3 &= (\alpha+\beta)^3 – 3 \alpha\beta(\alpha+\beta) \\
&= \left( \frac{3}{5} \right)^3 – 3 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left( -\frac{1}{5} \right) \\
&= \frac{3^2(3+5)}{5^3} = \frac{72}{125}
\end{align}
$$
問題$2$ 三角関数の加法定理
三角関数の加法定理を逆に用いることで、$f(\theta)=\sin{\theta}-\cos{\theta}$は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
f(\theta) &= \sin{\theta}-\cos{\theta} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin{\theta} – \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{\theta} \right) \\
&= \sqrt{2} \left( \sin{\theta}\cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} + \cos{\theta}\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} \right) \\
&= \sqrt{2} \sin{\left( \theta – \frac{\pi}{4} \right)}
\end{align}
$$
$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$より、$\displaystyle \theta – \frac{\pi}{4}$は下記のような範囲を取る。
$$
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\begin{align}
-\frac{\pi}{2} \leq &\theta \leq \frac{\pi}{2} \\
-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \leq &\theta – \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \\
-\frac{3 \pi}{4} \leq &\theta-\frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4}
\end{align}
$$
よって$\displaystyle \sqrt{2} \sin{\left( \theta – \frac{\pi}{4} \right)}$の最大値と最小値は下記のように考えることができる。
・最大値
$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}$のとき下記のような最大値を取る。
$$
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\begin{align}
\sqrt{2} \sin{\left( \theta – \frac{\pi}{4} \right)} &= \sqrt{2} \sin{\left( \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} \right)} \\
&= \sqrt{2} \sin{\left( \frac{\pi}{4} \right)} \\
&= \cancel{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\cancel{\sqrt{2}}} = 1
\end{align}
$$
・最小値
$\displaystyle \theta = -\frac{\pi}{4}$のとき下記のような最大値を取る。
$$
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\begin{align}
\sqrt{2} \sin{\left( – \frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{4} \right)} &= \sqrt{2} \sin{\left( -\frac{\pi}{2} \right)} \\
&= -\sqrt{2}
\end{align}
$$
問題$3$ $\sum$の公式
$$
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\begin{align}
\sum_{k=1}^{n} (6k^2 – 6k +2)
\end{align}
$$
$\displaystyle \sum$に関する公式を用いることで上記は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\sum_{k=1}^{n} (6k^2 – 6k +2) &= 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 – 6 \sum_{k=1}^{n}k +2n \\
&= \cancel{6} \times \frac{1}{\cancel{6}}n(n+1)(2n+1) – 6 \times \frac{1}{2}n(n+1) + 2n \\
&= n(n+1)(2n+1) – 3n(n+1) + 2n \\
&= n \left[ (2n^2+3n+1) – 3(n+1) + 2 \right] \\
&= n \times 2n^2 = 2n^3
\end{align}
$$
・解説
問題を解くにあたって用いた$\displaystyle \sum$の公式の導出は下記で詳しく取り扱いました。
問題$4$ 行列の積と逆行列の公式
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} \right)
\end{align}
$$
①
$2 \times 2$の逆行列の公式より、$A^{-1}$は下記のように表すことができる。
$$
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\begin{align}
A^{-1} &= \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} \right)^{-1} \\
&= \frac{1}{1 \cdot 5 – 2 \cdot 3} \left( \begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} -5 & 3 \\ 2 & -1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
②
$A^2+(A^{-1})^2$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
A^2+(A^{-1})^2 &= \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} \right)^2 + \left( \begin{array}{cc} -5 & 3 \\ 2 & -1 \end{array} \right)^2 \\
&= \left( \begin{array}{cc} 1+15 & 3+15 \\ 2+10 & 6+25 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 25-3 & -15-3 \\ -10-2 & 6+1 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} 38 & 0 \\ 0 & 38 \end{array} \right)
\end{align}
$$
問題$5$ $x^2 e^{x}$の不定積分と定積分
①
部分積分法に基づいて下記のように不定積分の計算を行える。
$$
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\begin{align}
\int f(x) dx &= \int x^2 e^x dx \\
&= x^2 e^x – \int (x^2)’ e^x dx \\
&= x^2 e^x – 2 \int x e^x dx \\
&= x^2 e^x – 2x e^x + 2 \int x’ e^x dx \\
&= x^2 e^x – 2x e^x + 2 \int e^x dx \\
&= x^2 e^x – 2x e^x + 2 e^x + C \\
&= (x^2-2x+2)e^{x} + C
\end{align}
$$
上記の$C$は積分定数である。
②
①の結果を元に定積分は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\int_{0}^{1} f(x) dx &= \int_{0}^{1} x^2 e^x dx \\
&= \left[ (x^2-2x+2)e^{x} \right]_{0}^{1} \\
&= (1^2 – 2 \cdot 1 + 2)e^{1} – (0^2 – 2 \cdot 0 + 2)e^{0} = e-2
\end{align}
$$
問題$6$ 双曲線の漸近線の方程式
$$
\large
\begin{align}
\frac{x^2}{2} – \frac{y^2}{4} &= 1 \\
\frac{x^2}{\sqrt{2}^2} – \frac{y^2}{2^2} &= 1
\end{align}
$$
上記の双曲線の漸近線の方程式は$\displaystyle y = \pm \frac{2}{\sqrt{2}}x = \pm \sqrt{2}x$である。
問題$7$ 分母の有理化による極限値の計算
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-x}-x}$は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{x^2-x}-x} &= \frac{\sqrt{x^2-x}+x}{(\sqrt{x^2-x}-x)(\sqrt{x^2-x}+x)} \\
&= \frac{\sqrt{x^2-x}+x}{(x^2-x)-x^2} \\
&= \frac{\sqrt{x^2-x}+x}{-x} = – \left( \sqrt{1-\frac{1}{x}}+1 \right)
\end{align}
$$
よって極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-x}-x}$は下記のように求められる。
$$
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\begin{align}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-x}-x} &= \lim_{x \to \infty} \left( – \sqrt{1-\frac{1}{x}}-1 \right) \\
&= -\sqrt{1-0} – 1 \\
&= -2
\end{align}
$$
$2$次：数理技能検定
問題$1 \,$
問題$2 \,$
問題$3 \,$
問題$4 \,$
問題$5 \,$
問題$6 \,$ $3$次方程式の解と係数の関係の導出
$$
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\begin{align}
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \neq 0
\end{align}
$$
上記の$3$次方程式の解を$\alpha, \beta, \gamma$とおくと、方程式は下記のように表すことができる。
$$
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\begin{align}
ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = 0 \quad (1)
\end{align}
$$
このとき$a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$は下記のように展開できる。
$$
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\begin{align}
a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = a(x^3 – (\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma) \quad (2)
\end{align}
$$
$(1)$式と$(2)$式の対応より、下記が導出できる。
$$
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\begin{align}
\alpha+\beta+\gamma &= -\frac{b}{a} \\
\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &= \frac{c}{a} \\
\alpha\beta\gamma &= -\frac{d}{a}
\end{align}
$$