微分方程式(differential equation)は多くの応用先がありますが、統計学を学ぶにあたってもハザード関数から確率密度関数を導出する際などに用いられます。当記事では微分方程式の基本的な解法の$1$つである変数分離形に関して取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$9$章「微分方程式」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
変数分離形の微分方程式
$$
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\begin{align}
\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx
\end{align}
$$
上記のように変形できる微分方程式を「変数分離形」という。変数分離形の微分方程式は上記の両辺を下記のように積分することで解を求めることができる。
$$
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\begin{align}
\frac{1}{g(y)} dy &= f(x) dx \\
\int \frac{1}{g(y)} dy &= \int f(x) dx
\end{align}
$$
変数分離形の微分方程式の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$161$
・$(1)$
$$
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\begin{align}
y’ = xy^2
\end{align}
$$
上記は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
y’ &= xy^2 \\
\frac{dy}{dx} &= xy^2 \\
\frac{1}{y^2} dy &= x dx \\
\int \frac{1}{y^2} dy &= \int x dx \\
-\frac{1}{y} &= \frac{1}{2} x^2 + c \\
-\frac{1}{y} &= \frac{1}{2} (x^2 + 2c) \\
y &= -\frac{2}{x^2 + 2c} \\
&= -\frac{2}{x^2 + C}
\end{align}
$$
ここで上記の$c$は定数、$C$は積分定数である。
・$(2)$
$$
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\begin{align}
xy’ + y = y^2
\end{align}
$$
上記は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
xy’ + y &= y^2 \\
x \frac{dy}{dx} &= y^2-y \\
\frac{1}{y(y-1)} dy &= \frac{1}{x} dx \\
\left( \frac{1}{y-1} – \frac{1}{y} \right) dy &= \frac{1}{x} dx \\
\int \left( \frac{1}{y-1} – \frac{1}{y} \right) dy &= \int \frac{1}{x} dx \\
\log{|y-1|} – \log{|y|} &= \log{|x|} + c \\
\log{\left| \frac{y-1}{xy} \right|} &= c \\
\frac{y-1}{xy} &= \pm e^c \\
y-1 &= \pm e^c xy \\
y(1 \mp e^c x) &= 1 \\
y &= \frac{1}{1 \mp e^c x} \\
&= \frac{1}{Cx+1}
\end{align}
$$
ここで上記の$c$は定数、$C$は積分定数である。また、上記の計算は$y \neq 0, y \neq 1$で成立する。また、$y=0, y=1$に関して$xy’ + y = y^2$が成立するので$y=0, y=1$も解である。
・$(3)$
$$
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\begin{align}
y’ = e^{x+y}
\end{align}
$$
上記は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
y’ &= e^{x+y} \\
\frac{dy}{dx} &= e^x e^{y} \\
e^{-y} dy &= e^{x} dx \\
\int e^{-y} dy &= \int e^{x} dx \\
-e^{-y} &= e^{x} + C \\
e^{-y} &= -(e^{x} + C) \\
-y &= \log{(-(e^{x} + C))} \\
y &= -\log{(-(e^{x} + C))}
\end{align}
$$
上記の$C$は$C<0$の積分定数である。
基本例題$162$
・$(1)$
$$
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\begin{align}
y’ = xy^2
\end{align}
$$
上記の解の$\displaystyle y = -\frac{2}{x^2 + C}$に$x=1, y=-1$を代入すると下記が得られる。
$$
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\begin{align}
y &= -\frac{2}{x^2 + C} \\
-1 &= -\frac{2}{1^2 + C} \\
-1-C &= -2 \\
C &= -1+2 \\
&= 1
\end{align}
$$
よって$\displaystyle y = -\frac{2}{x^2 + 1}$が得られる。
・$(2)$
$$
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\begin{align}
xy’ + y = y^2
\end{align}
$$
上記の解の$\displaystyle y = \frac{1}{Cx+1}$に$\displaystyle x=1, y=\frac{3}{2}$を代入すると下記が得られる。
$$
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\begin{align}
y &= \frac{1}{Cx+1} \\
\frac{3}{2} &= \frac{1}{C+1} \\
3(1+C) &= 2 \\
3C &= -1 \\
C &= -\frac{1}{3}
\end{align}
$$
よって$\displaystyle y = \frac{1}{-x/3+1} = \frac{3}{3-x}$が得られる。
・$(3)$
$$
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\begin{align}
y’ = e^{x+y}
\end{align}
$$
上記の解の$y = -\log{(-(e^{x} + C))}$に$x=0, y=0$を代入すると下記が得られる。
$$
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\begin{align}
y &= -\log{(-(e^{x} + C))} \\
0 &= -\log{(-(e^{0} + C))} \\
\log{(-(1 + C))} &= 0 \\
-(1 + C) &= e^{0} \\
C &= – 1 – 1 \\
&= -2
\end{align}
$$
よって$\displaystyle y = -\log{(2-e^{x})}$が得られる。