数学検定2級 解説　〜過去問題② 解答例・解説　1次：計算技能検定・2次：数理技能検定〜

数学検定$2$級は数ⅡBまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の目安になります。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $2$級」の数学検定$2$級の内容に基づき、過去問題②の解答例と解説の作成を行いました。

・数学検定$2$級まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_certificate_2

$1$次：計算技能検定

問題$1 \,$ 展開の公式

下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
(x+2y)^{3} = x^3 + 6x^2 y + 12x y^2 + 8y^3
\end{align}
$$

問題$2 \,$ 因数分解

下記のように因数分解を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
a(b+c) – (b^2-c^2) &= a(b+c) – (b+c)(b-c) \\
&= (b+c)(a-b+c)
\end{align}
$$

問題$3 \,$ 分母の有理化

下記のように式変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}-1} – \frac{\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}+1} &= \frac{((\sqrt{2}-1))(\sqrt{2}+3)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} – \frac{(\sqrt{2}-3)((\sqrt{2}-1))}{(\sqrt{2}+1)((\sqrt{2}-1))} \\
&= \frac{2 + 4 \sqrt{2} + 3}{2-1} – \frac{2 – 4 \sqrt{2} + 3}{2-1} \\
&= 8 \sqrt{2}
\end{align}
$$

問題$4 \,$ 三角関数を用いた方程式

$\displaystyle \sin{\theta}-\cos{\theta} = \frac{1}{2}$より下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
(\sin{\theta}-\cos{\theta})^{2} &= \frac{1}{2} \\
\sin^{2}{\theta} + \cos^{2}{\theta} – 2 \sin{\theta} \cos{\theta} &= \frac{1}{4} \\
1 – 2 \sin{\theta} \cos{\theta} &= \frac{1}{4} \\
2 \sin{\theta} \cos{\theta} &= \frac{3}{4} \\
\sin{\theta} \cos{\theta} &= \frac{3}{8}
\end{align}
$$

問題$5 \,$ サイコロの目の確率

目の出方は$(1,3), (2,2), (3,1), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (6,6)$の$9$通りある。よって、確率は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{9}{6^2} = \frac{1}{4}
\end{align}
$$

問題$6 \,$ 循環小数と数列の和

$x = 2.\dot{0}\dot{9}$とおくと、$100x = 209.\dot{0}\dot{9}$である。このとき$100x – x$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
100x – x &= 209.\dot{0}\dot{9} – 2.\dot{0}\dot{9} \\
99x &= 207 \\
x &= \frac{99}{207} = \frac{23}{11}
\end{align}
$$

問題$7 \,$ 二次方程式の判別式

二次方程式$2x^2 + 8x – 2k^2 – 9k + 13 = 0$が解を持つ$k$の範囲が得られれば良いので、判別式を$D$とおくと下記のような式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{D}{4} = 4^2 – 2(-2k^2 – 9k + 13) & > 0 \\
2k^2 + 9k – 5 & > 0 \\
(2k – 1)(k + 5) & > 0
\end{align}
$$

上記より$\displaystyle k < -5, \frac{1}{2} < k$が得られる。

問題$8 \,$ 円の方程式

中心が$(2,0)$の円の方程式は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
(x-2)^2 + y^2 = r^2
\end{align}
$$

上記が原点を通るので下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
(0-2)^2 + 0^2 &= r^2 \\
r^2 &= 2^2
\end{align}
$$

よって、円の方程式は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
(x-2)^2 + y^2 = 2^2
\end{align}
$$

問題$9 \,$ 分母の複素数の実数化

下記の式変形が成立する。
$$
\large
\begin{align}
a + bi &= \frac{2-i}{1+i} \\
&= \frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \\
&= \frac{2-3i+i^2}{1-i^2} \\
&= \frac{2-1-3i}{1-(-1)} \\
&= \frac{1}{2} – \frac{3}{2}i
\end{align}
$$

上記より$\displaystyle a = \frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$が成立する。

問題$10 \,$ 等比数列の一般項

一般項$a_n$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
a_n = -64 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)^{n}
\end{align}
$$

よって$a_7$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
a_n &= -64 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)^{7} \\
&= 2^{6} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{7} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
$$

問題$11 \,$ 指数の計算

下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
3^{\frac{1}{6}} \div 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{3}} &= 3^{\frac{1}{6}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} \\
&= 3^{0} \\
&= 1
\end{align}
$$

問題$12 \,$ 三角関数の二次関数

方程式は下記のように解ける。
$$
\large
\begin{align}
2 \sin^{2}{\theta} – 3 \sin{\theta} + 1 &= 0 \\
(2 \sin{\theta} – 1)(\sin{\theta} – 1) &= 0 \\
\sin{\theta} &= \frac{1}{2}, \, 1
\end{align}
$$

上記より$\displaystyle \theta = 30^{\circ}, 90^{\circ}, 150^{\circ}$である。

問題$13 \,$ 三次方程式の解

$$
\large
\begin{align}
x^3 + x^2 – 8x – 12 = 0
\end{align}
$$

上記に$x=3$を代入すると方程式が成立するので、左辺を$x-3$で割ることで下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
x^3 + x^2 – 8x – 12 &= 0 \\
(x-3)(x^2+4x+4) &= 0 \\
(x-3)(x+2)^2 &= 0
\end{align}
$$

上記より$x=-2, 3$である。

問題$14 \,$ 不定積分・定積分

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\int x(3x+2) dx &= \int (3x^2 + 2x) dx \\
&= x^3 + x^2 + C
\end{align}
$$

$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\int_{-1}^{2} x(3x+2) dx &= \left[ x^3 + x^2 \right]_{-1}^{2} \\
&= (2^3+2^2) – ((-1)^3+(-1)^2) \\
&= 12
\end{align}
$$

問題$15 \,$ 空間ベクトルの成分表示

原点を$O$と定めると$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$はそれぞれ下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\overrightarrow{OA} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) , \, \overrightarrow{OB} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -5 \end{array} \right)
\end{align}
$$

$[1]$
$\overrightarrow{AB}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} \\
&= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -5 \end{array} \right) – \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -5 \end{array} \right)
\end{align}
$$

$[2]$
$|\overrightarrow{AB}|$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
|\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-5)^2} \\
&= \sqrt{45} \\
&= 3 \sqrt{5}
\end{align}
$$

$2$次：数理技能検定

問題$1 \,$ 期待値の計算

コインの枚数の期待値を$E[X]$とおくと、$E[X]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= 10 \cdot \frac{5}{100} + 4 \cdot \frac{25-5}{100} + 6 \cdot \frac{20-5}{100} \\
&= \frac{50+80+90}{100} \\
&= \frac{220}{100} = \frac{11}{5}
\end{align}
$$

問題$2 \,$

問題$3 \,$ ヘッセの標準形

直線$l$と平行なベクトルを$\vec{l}$とおくと、$\overrightarrow{OH}$と$\vec{l}$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\overrightarrow{OH} &= \left(\begin{array}{c} p \cos{\theta} \\ p \sin{\theta} \end{array} \right) \\
\vec{l} &= \left(\begin{array}{c} x-p \cos{\theta} \\ y-p \sin{\theta} \end{array} \right)
\end{align}
$$

このとき$\overrightarrow{OH}$と$\vec{l}$が垂直なので下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\overrightarrow{OH} \cdot \vec{l} &= 0 \\
\left(\begin{array}{c} p \cos{\theta} \\ p \sin{\theta} \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} x-p \cos{\theta} \\ y-p \sin{\theta} \end{array} \right) &= 0 \\
xp \cos{\theta} – p^{2} \cos^{2}{\theta} + yp \sin{\theta} – p^2 \sin^{2}{\theta} &= 0 \\
p(x \cos{\theta} + y \sin{\theta}) &= p^2(\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}) \\
x \cos{\theta} + y \sin{\theta} &= p \quad (1)
\end{align}
$$

$\overrightarrow{OH} \cdot \vec{l} = 0$はベクトルの大きさが$0$である場合も成立するので上記は必要条件であるが、$p>0$であれば$|\overrightarrow{OH}| \neq 0$、$|\vec{l}|=0$は直線上の点であることから十分条件であることも確認できる。よって$(1)$式が直線の方程式を表すことが確認できる。

問題$4 \,$

問題$5 \,$

問題$6 \,$ 二次方程式の解の公式の導出

下記のように導出を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
ax^2 + bx + c &= 0 \\
a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c &= 0 \\
a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 -\frac{ab^2}{(2a)^2} + c &= 0 \\
a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 &= \frac{b^2}{4a} – c \\
a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 &= \frac{b^2-4ac}{4a} \\
\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 &= \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\
x + \frac{b}{2a} &= \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}
$$

問題$7 \,$