数学検定2級 解説　〜公式問題集 解説＆解答 Ch.2「三角関数」〜

数学検定$2$級は数ⅡBまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $2$級」より、第$2$章の「三角関数」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。

・数学検定$2$級まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_certificate_2

本章のまとめ

加法定理

三角関数の加法定理・倍角の公式・極限、微分の公式の簡易的な導出とその直感的理解

演習

計算技能問題

問題.$1$

下記のように値が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\tan{\left[ 180^{\circ} \left( 2n – \frac{1}{4} \right) \right]} &= \tan{(360^{\circ} \times n – 45 ^{\circ})} \\
&= \tan{(-45^{\circ})} \\
&= -1
\end{align}
$$

問題.$2$

$[1]$
$\displaystyle \sin{\theta}-\cos{\theta}=\frac{1}{3}$の両辺を$2$乗すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
(\sin{\theta}-\cos{\theta})^{2} &= \left( \frac{1}{3} \right)^{2} \\
\sin^{2}{\theta} + \cos^{2}{\theta} – 2 \sin{\theta} \cos{\theta} &= \frac{1}{9} \\
1 – 2 \sin{\theta} \cos{\theta} &= \frac{1}{9} \\
2 \sin{\theta} \cos{\theta} &= 1-\frac{1}{9} \\
\sin{\theta} \cos{\theta} &= \frac{4}{9}
\end{align}
$$

このとき$(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2 &= \sin^{2}{\theta} + \cos^{2}{\theta} + 2 \sin{\theta} \cos{\theta} \\
&= 1 + 2 \cdot \frac{4}{9} \\
&= \frac{17}{9}
\end{align}
$$

ここで$180^{\theta} < \theta < 270^{\circ}$より、$\sin{\theta}<0, \cos{\theta}<0$であり、$\sin{\theta}+\cos{\theta}<0$も同時に成立する。よって$\displaystyle \sin{\theta}+\cos{\theta}=-\frac{\sqrt{17}}{3}$である。

$[2]$
$\displaystyle \sin{\theta}+\cos{\theta}=-\frac{\sqrt{17}}{3}$、$\displaystyle \sin{\theta} \cos{\theta}=\frac{4}{9}$より、$\sin^{3}{\theta}+\cos^{3}{\theta}$の値は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\sin^{3}{\theta}+\cos^{3}{\theta} &= (\sin{\theta}+\cos{\theta})^{3} – 3 \sin{\theta}\cos{\theta}(\sin{\theta}+\cos{\theta}) \\
&= \left( -\frac{\sqrt{17}}{3} \right)^{3} – 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot -\frac{\sqrt{17}}{3} \\
&= -\frac{17\sqrt{17}}{27} + \frac{12\sqrt{17}}{27} \\
&= -\frac{(17-12)\sqrt{17}}{3} \\
&= -\frac{5\sqrt{17}}{3}
\end{align}
$$

問題.$3$

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\sin{490^{\circ}} &= \sin{(360^{\circ}+130^{\circ})} \\
&= \sin{130^{\circ}} \\
&= \sin{(180^{\circ}-130^{\circ})} \\
&= \sin{50^{\circ}} \\
&= \cos{(90^{\circ}-50^{\circ})} \\
&= \cos{40^{\circ}}
\end{align}
$$

$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\sin{(-560^{\circ})} &= \sin{(360^{\circ} \times 2 – 560^{\circ})} \\
&= \sin{(720^{\circ}-560^{\circ})} \\
&= \sin{160^{\circ}} \\
&= \sin{(180^{\circ}-160^{\circ})} \\
&= \sin{20^{\circ}}
\end{align}
$$

問題.$4$

$[1]$
加法定理を用いて下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\cos{105^{\circ}} &= \cos{(60^{\circ}+45^{\circ})} \\
&= \cos{60^{\circ}}\cos{45^{\circ}} – \sin{60^{\circ}}\sin{45^{\circ}} \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\
&= \frac{\sqrt{2}}{4} – \frac{\sqrt{6}}{4} \\
&= \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}
\end{align}
$$

$[2]$
加法定理を用いて下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\tan{15^{\circ}} &= \tan{(60^{\circ}+45^{\circ})} \\
&= \frac{\tan{60^{\circ}}-\tan{45^{\circ}}}{1+\tan{60^{\circ}}\tan{45^{\circ}}} \\
&= \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}} \\
&= \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} \\
&= \frac{3+1-2\sqrt{3}}{3-1} \\
&= 2 – \sqrt{3}
\end{align}
$$

問題.$5$

$[1]$
$\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}=1$より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\sin^{2}{\alpha} + \cos^{2}{\alpha} &= 1 \\
\cos^{2}{\alpha} &= 1 – \left( \frac{3}{5} \right)^2 \\
&= \frac{16}{25}
\end{align}
$$

ここで$90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$であることから$\cos{\alpha}<0$であるので$\displaystyle \cos{\alpha}=-\frac{4}{5}$である。よって$2$倍角の公式に基づいて$\sin{2 \alpha}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{2 \alpha} &= 2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} \\
&= 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot -\frac{4}{5} \\
&= -\frac{24}{25}
\end{align}
$$

$[2]$
$2$倍角の公式に基づいて$\cos{2 \alpha}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\cos{2 \alpha} &= \cos^{2}{\alpha} – \sin^{2}{\alpha} \\
&= \left( -\frac{4}{5} \right)^{2} – \left( \frac{3}{5} \right)^{2} \\
&= \frac{7}{25}
\end{align}
$$

$[3]$
$[1]$、$[2]$の結果に基づいて下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\tan{2 \alpha} &= \frac{\sin{2 \alpha}}{\cos{2 \alpha}} \\
&= -\frac{24}{25} \times \frac{25}{7} \\
&= -\frac{24}{7}
\end{align}
$$

問題.$6$

$y=\sin^{2}{\theta}-\cos^{2}{\theta}$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
y &= \sin^{2}{\theta}-\cos^{2}{\theta} \\
&= -(\cos^{2}{\theta}-\sin^{2}{\theta}) \\
&= -\cos{2 \theta}
\end{align}
$$

上記より、関数の周期は$180^{\circ}$である。

問題.$7$

$[1]$
加法定理を元に下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\cos{15^{\circ}} + \cos{75^{\circ}} &= \cos{(45^{\circ}-30^{\circ})} + \cos{(45^{\circ}+30^{\circ})} \\
&= (\cos{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}} + \cancel{\sin{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}}}) + (\cos{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}} – \cancel{\sin{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}}}) \\
&= 2 \cos{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}} \\
&= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\
&= \frac{\sqrt{6}}{2}
\end{align}
$$

$[2]$
加法定理を元に下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\cos{15^{\circ}} \cos{75^{\circ}} &= \cos{(45^{\circ}-30^{\circ})} \cos{(45^{\circ}+30^{\circ})} \\
&= (\cos{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}} + \sin{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}})(\cos{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}} – \sin{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}}) \\
&= (\cos{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}})^{2} – (\sin{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}})^{2} \\
&= \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{4} – \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{4} \\
&= \frac{4}{16} \\
&= \frac{1}{4}
\end{align}
$$

問題.$8$

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\sin{(\theta-30^{\circ})} = \frac{1}{2}
\end{align}
$$

$0^{\circ} \leq \theta < 360^{\circ}$より$-30^{\circ} \leq \theta – 30^{\circ} < 330^{\circ}$であるので、$\theta-30^{\circ}=30^{\circ}, 150^{\circ}$が成立する。よって$\theta=60^{\circ}, 180^{\circ}$である。

$[2]$
$$
\large
\begin{align}
2\sin^{2}{\theta} &= 3\cos{\theta} \\
2(1-\cos^{2}{\theta}) &= 3\cos{\theta} \\
2\cos^{2}{\theta} + 3\cos{\theta} – 2 &= 0 \\
(2\cos{\theta}-1)(\cos{\theta}+2) &= 0 \\
\cos{\theta} &= \frac{1}{2}
\end{align}
$$

ここで$0^{\circ} \leq \theta < 360^{\circ}$より、$\theta=60^{\circ},300^{\circ}$である。

$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\sin{\theta} + \cos{\theta} &= 1 \\
\sqrt{2} \left( \sin{\theta} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos{\theta} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) &= 1 \\
\sin{\theta} \cos{45^{\circ}} + \cos{\theta} \cos{45^{\circ}} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\sin{(\theta+45^{\circ})} &= \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}
$$

$0^{\circ} \leq \theta < 360^{\circ}$より$45^{\circ} \leq \theta + 45^{\circ} < 405^{\circ}$であるので、$\theta+45^{\circ}=45^{\circ}, 135^{\circ}$が成立する。よって$\theta=0^{\circ}, 90^{\circ}$である。

数理技能問題

問題.$1$

下記のように示すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\cos{(x+y)} \cos{(x-y)} &= (\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y})(\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}) \\
&= \cos^{2}{x}\cos^{2}{y} – \sin^{2}{x}\sin^{2}{y} \\
&= \cos^{2}{x}\cos^{2}{y} – (1-\cos^{2}{x})\sin^{2}{y} \\
&= \cos^{2}{x}(\cos^{2}{y}+\sin^{2}{y}) – \sin^{2}{y} \\
&= \cos^{2}{x} – \sin^{2}{y}
\end{align}
$$

問題.$2$

$2$倍角の公式より$\sin{2 \alpha}, \cos{2 \alpha}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{2 \alpha} &= 2 \sin{\alpha}{\cos{\alpha}} \\
\cos{2 \alpha} &= 2 \cos^{2}{\alpha} – 1
\end{align}
$$

よって$\cos{3 \alpha}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\cos{3 \alpha} &= \cos{(2\alpha + \alpha)} \\
&= \cos{2\alpha}\cos{\alpha} – \sin{2\alpha}\sin{\alpha} \\
&= (2\cos^{2}{\alpha}-1)\cos{\alpha} – 2\sin{\alpha}{\cos{\alpha}}\sin{\alpha} \\
&= 2\cos^{3}{\alpha} – \cos{\alpha} – 2\sin^{2}{\alpha}{\cos{\alpha}} \\
&= 2\cos^{3}{\alpha} – \cos{\alpha} – 2(1-\cos^{2}{\alpha}){\cos{\alpha}} \\
&= 2\cos^{3}{\alpha} – \cos{\alpha} + 2\cos^{2}{\alpha} – 2\cos{\alpha} \\
&= 4\cos^{3}{\alpha} – 3\cos{\alpha}
\end{align}
$$

問題.$3$

直線$y=-2x$が直線$y=0$となす角を$\alpha$、直線$y=3x$が直線$y=0$となす角を$\beta$とおく。このとき直線の傾きに基づいて、$\tan{\alpha}, \tan{\beta}$はそれぞれ下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\tan{\alpha} &= -2 \\
\tan{\beta} &= 3
\end{align}
$$

ここで加法定理に基づいて$\tan{(\alpha-\beta)}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\tan{(\alpha-\beta)} &= \frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{(\alpha-\beta)}} \\
&= \frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}} \\
&= \frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}} \\
&= \frac{-2 – 3}{1 + (-2) \cdot 3} \\
&= \frac{-5}{-5} \\
&= 1
\end{align}
$$

$\tan{(\alpha-\beta)}=1$より$\theta=\alpha-\beta=45^{\circ}$である。

問題.$4$

$\displaystyle \sin^{2}{\frac{\alpha}{2}} + \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}} = 1$は下記のように変形することができる。
$$
\large
\begin{align}
\sin^{2}{\frac{\alpha}{2}} + \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}} &= 1 \\
\frac{\displaystyle \sin^{2}{\frac{\alpha}{2}}}{\displaystyle \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}} + 1 &= \frac{1}{\displaystyle \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}} \\
\tan^{2}{\frac{\alpha}{2}} + 1 &= \frac{1}{\displaystyle \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}}
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \tan{\frac{\alpha}{2}}=t$とおくとき、上記より$\displaystyle \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{1+t^2}$が成立する。

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\sin{\alpha} &= \sin{\left( 2 \cdot \frac{\alpha}{2} \right)} \\
&= 2 \sin{\frac{\alpha}{2}} \cos{\frac{\alpha}{2}} \\
&= 2 \tan{\frac{\alpha}{2}} \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}} \\
&= 2t \cdot \frac{1}{1+t^2} \\
&= \frac{2t}{1+t^2}
\end{align}
$$

$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\cos{\alpha} &= \cos{\left( 2 \cdot \frac{\alpha}{2} \right)} \\
&= 2 \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}} – 1 \\
&= 2 \cdot \frac{1}{1+t^2} – 1 \\
&= \frac{2-(1+t^2)}{1+t^2} \\
&= \frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{align}
$$

$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\tan{\alpha} &= \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \\
&= \frac{2t}{\cancel{1+t^2}} \cdot \frac{\cancel{1+t^2}}{1-t^2} \\
&= \frac{2t}{1-t^2}
\end{align}
$$

問題.$5$

$[1]$
下記のように示すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{(90^{\circ}+\theta)} &= \sin{90^{\circ}}\cos{\theta} + \cos{90^{\circ}}\sin{\theta} \\
&= 1 \cdot \cos{\theta} + 0 \cdot \sin{\theta} \\
&= \cos{\theta}
\end{align}
$$

$[2]$
下記のように示すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{(180^{\circ}+\theta)} &= \sin{180^{\circ}}\cos{\theta} + \cos{180^{\circ}}\sin{\theta} \\
&= 0 \cdot \cos{\theta} + (-1) \cdot \sin{\theta} \\
&= -\sin{\theta}
\end{align}
$$

問題.$6$

加法定理を用いることで与式は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{x} + \sin{(60^{\circ}-x)} &= \sin{x} + \sin{60^{\circ}} \cos{x} – \cos{60^{\circ}} \sin{x} \\
&= \sin{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos{x} – \frac{1}{2} \sin{x} \\
&= \frac{1}{2} \sin{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos{x} \\
&= \sin{x} \cos{60^{\circ}} + \cos{x} \sin{60^{\circ}} \\
&= \sin{(x+60^{\circ})}
\end{align}
$$

上記より与式の最大値は$1$、最小値は$-1$である。

問題.$7$

グラフより関数の周期が$120^{\circ}$であるので$a=3$である。また、$x=0^{\circ}$のとき下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
2 \sin{b} &= -2 \\
\sin{b} &= -1
\end{align}
$$

$-180^{\circ} \leq b \leq 180^{\circ}$より$b=90^{\circ}$である。