数学検定1級 解説 〜公式問題集 解説&解答 Ch.3「解析学」〜

数学検定$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $1$級」より、第$3$章の「解析学」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。

・数学検定まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_certificate

①極限値

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
0.333… &= 0.3(1 + 10^{-1} + 10^{-2} + \cdots) \\
&= \frac{0.3}{1-0.1} \\
&= \frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3}
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
0.1666… &= 0.1 + 0.06(1 + 10^{-1} + 10^{-2} + \cdots) \\
&= \frac{1}{10} + \frac{6}{100} \times \frac{1}{1-0.1} \\
&= \frac{1}{10} + \frac{6}{100} \times \frac{10}{9} \\
&= \frac{1}{10} + \frac{2}{10 \cdot 3} \\
&= \frac{\cancel{3+2}}{2 \cdot \cancel{5} \cdot3} = \frac{1}{6}
\end{align}
$$

・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
0.037… &= 0.037 (1 + 10^{-3} + 10^{-6} + \cdots) \\
&= \frac{37}{1000} \times \frac{1}{1-10^{-3}} \\
&= \frac{37}{\cancel{1000}} \times \frac{\cancel{1000}}{999} \\
&= \frac{37}{9 \cdot 111} \\
&= \frac{\cancel{37}}{9 \cdot 3 \cdot \cancel{37}} \\
&= \frac{1}{27}
\end{align}
$$

問題.$2$

$$
\large
\begin{align}
a_1 = 1, \quad a_{k+1} = 1 + \frac{3}{4}a_{k}, \qquad k=1,2,3, \cdots
\end{align}
$$

特性方程式$\displaystyle \alpha = 1+\frac{3}{4}\alpha$の解が$\alpha=4$であることより二項間漸化式は下記のように変形を行える。
$$
\large
\begin{align}
a_{k+1} &= 1 + \frac{3}{4}a_{k} \\
a_{k+1}-4 &= \frac{3}{4}(a_{k}-4)
\end{align}
$$

上記より数列${a_{k}-4}$は初項$a_1-4=1-4=-3$、公比$\displaystyle \frac{3}{4}$の等比数列であることが読み取れる。よって$a_{k}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
a_{k} – 4 &= (a_1-4) \left( \frac{3}{4} \right)^{k-1} \\
a_{k} &= 4 – 3 \left( \frac{3}{4} \right)^{k-1}
\end{align}
$$

したがって、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n}$の極限値は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} a_{n} &= \lim_{n \to \infty} \left[ 4 – 3 \left( \frac{3}{4} \right)^{k-1} \right] \\
&= 4
\end{align}
$$

問題.$3$

問題.$4$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

問題.$6$

②微分法・不等式

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\left( \frac{x}{x^2+1} \right)’ &= \frac{x'(x^2+1)-x(x^2+1)’}{(x^2+1)^2} \\
&= \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} \\
&= \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
((\log_{2}{x})^2)’ &= \left( \frac{(\log_{e}{x})^2}{(\log_{e}{2})^2} \right)’ \\
&= \frac{2 \log_{e}{x} (\log_{e}{x})’}{(\log_{e}{2})^2} \\
&= \frac{2 \log_{e}{x}}{x(\log_{e}{2})^2}
\end{align}
$$

上記を下記のように変形すると、問題集の解答と一致する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{2 \log_{e}{x}}{x(\log_{e}{2})^2} &= \frac{2 \log_{2}{x}}{x \log_{2}{e}} \times (\log_{2}{e})^2 \\
&= 2 \log_{2}{e} \cdot \frac{\log_{2}{x}}{x}
\end{align}
$$

・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
( \log_{e}{(\log_{e}{x})} )’ &= \frac{(\log_{e}{x})’}{\log_{e}{x}} \\
&= \frac{1}{x \log_{e}{x}}
\end{align}
$$

問題.$2$

問題.$3$

$$
\large
\begin{align}
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{align}
$$

上記で表した微分係数$f'(a)$の定義に基づいて以下変形を行う。
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{f(a)-f(a+h)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{-(f(a+h)-f(a))}{h} \\
&= -f'(a)
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} &= \frac{f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)}{h} \\
&= \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + \frac{f(a)-f(a-h)}{h}
\end{align}
$$

ここで$t=-h$とおくと$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h} &= \lim_{t \to 0} \frac{f(a)-f(a+t)}{-t} \\
&= \lim_{t \to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{t} = f'(a)
\end{align}
$$

よって下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + \lim_{t \to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{t} \\
&= f'(a) + f'(a) = 2f'(a)
\end{align}
$$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

③最大・最小問題

計算技能問題

問題.$1$

切り取る正方形の辺の長さを$a$、箱の体積を$V(a)$とおくと、$V(a)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
V(a) &= (12-2a)^{2} \times a \\
&= 4a(6-a)^{2}
\end{align}
$$

ここで$V(a)$の$a$での微分は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dV(a)}{da} &= 4(6-a)^{2} + 4a \times 2(6-a) \times (-1) \\
&= 4(6-a)^{2} – 8a(6-a) \\
&= 4(6-a)[ (6-a) – 2a ] \\
&= 4(6-a)(6-3a) \\
&= 12(a-6)(a-2)
\end{align}
$$

上記より$a=2$のとき$V(a)$は最大値を取ることが確認でき、このときの値$V(a)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
V(2) &= 4 \times 2 \times (6-2)^{2} \\
&= 128
\end{align}
$$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

数理技能問題

問題.$1$

$$
\large
\begin{align}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\end{align}
$$

上記で表される楕円上の点は$(a \cos{\theta}, b \sin{\theta})$のように表せる。内接する長方形を考えるにあたっては楕円上の$1$つの点を考えると、$x=0,y=0$にそれぞれ対称な点と原点に対称な点を考えることで$4$点が自動的に決まる。

ここで第$1$象限の点を$\displaystyle (a \cos{\theta}, b \sin{\theta}), \quad 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$で定めると長方形の面積$S(\theta)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
S(\theta) &= 2 a \cos{\theta} \times 2 b \sin{\theta} \\
&= 4ab \sin{\theta} \cos{\theta} \\
&= 2ab\sin{(2 \theta)}
\end{align}
$$

$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$より、$S(\theta)$は$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$のとき最大値$2ab$をとる。

したがって楕円に内接する長方形の最大面積は$2ab$である。

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

④テイラー展開

計算技能問題

問題.$1$

問題.$2$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

⑤積分法

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
$x’=1$であることに着目して部分積分法を用いることで下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int (\log{x})^{2} dx &= x (\log{x})^{2} – \int \cancel{x} \cdot 2(\log{x}) \cdot \frac{1}{\cancel{x}} dx \\
&= x (\log{x})^{2} – 2x \log{x} + 2 \int \cancel{x} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} dx \\
&= x (\log{x})^{2} – 2x \log{x} + 2x + C
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x} &= 1 \\
\frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}} + 1 &= \frac{1}{\cos^{2}{x}} \\
\tan^{2}{x} + 1 &= \frac{1}{\cos^{2}{x}}
\end{align}
$$

上記の式と$\displaystyle (\tan{x})’ = \frac{1}{\cos^{2}{x}}$より、下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int \tan^{2}{x} dx &= \int \left( \frac{1}{\cos^{2}{x}} – 1 \right) dx \\
&= \int ((\tan{x})’ – 1 ) dx \\
&= \tan{x} – x + C
\end{align}
$$

・$[3]$
部分積分法に基づいて下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int x \sin{x} dx &= -x \cos{x} + \int \cos{x} dx \\
&= -x \cos{x} + \sin{x} + C
\end{align}
$$

問題.$2$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

⑥積分の応用

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
$x-\sqrt{x}=0$の解は$\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=0$より、$x=0,1$である。ここで$0 \leq x \leq 1$では$x-\sqrt{x}<0$であるので、面積$S$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
S &= \int_{0}^{1} |x-\sqrt{x}| dx \\
&= \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} – x) dx \\
&= \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} – \frac{1}{2}x^{2} \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{2}{3} – \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{6}
\end{align}
$$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$