数学検定$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $1$級」より、第$1$章の「準1級までの復習」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。
・数学検定まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_certificate
Contents
①初等代数学
計算技能問題
問題.$1$
問題.$2$
$f(x)$を$(2x+3)$で割った商を$Q(x)$とおくと$f(x)=(2x+3)Q(x)+6$と表せる。このとき、$(3x+7)f(x)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
(3x+7)f(x) &= (3x+7)((2x+3)Q(x)+6) \\
&= (3x+7)(2x+3)Q(x) + 6(3x+7) \\
&= (2x+3)((3x+7)Q(x) + 9) + 15
\end{align}
$$
上記より、$(3x+7)f(x)$を$(2x+3)$で割った余りは$15$であることがわかる。
問題.$3$
下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
& a \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) + b \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right) + c \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \\
&= \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \\
&= \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} + 3 – 3 \\
&= \frac{a+b+c}{a} + \frac{a+b+c}{b} + \frac{a+b+c}{c} – 3 \\
&= 0 – 3 = -3
\end{align}
$$
問題.$4$
問題.$5$
下記のように計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
\sum_{k=3}^{15} (k+3)(k-2) &= \sum_{k=1}^{15} (k^2+k-6) – ((1+3) \cdot (1-2) + (2+3) \cdot (2-2)) \\
&= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} + 4 \\
&= 5 \cdot 8 \cdot 31 + 4 \\
&= 1270 + 4 \\
&= 1274
\end{align}
$$
問題.$6$
下記のように計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
\sum_{k=5}^{20} k^{2} &= \sum_{k=1}^{20} k^{2} – \sum_{k=1}^{4} k^{2} \\
&= \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} – \frac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6} \\
&= 10 \cdot 7 \cdot 41 – 2 \cdot 5 \cdot 3 \\
&= 10(287-3) \\
&= 2840
\end{align}
$$
問題.$7$
$z=x+yi, \bar{z}=x-yi$のとき、$z^2=\bar{z}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
z^2 &= \bar{z} \\
(x+yi)^2 &= x-yi \\
x^2 + 2xyi + y^2i^2 &= x-yi \\
x^2 + 2xyi – y^2 &= x-yi \\
(x^2-y^2-x) + y(2x+1)i &= 0
\end{align}
$$
ここで上記より$x^2-y^2-x=0, y(2x+1)=0$が得られるので、以下では$\displaystyle y=0, x=-\frac{1}{2}$を$x^2-y^2-x=0$に代入し、$x, y$の値を求める。
i) $y=0$のとき
$$
\large
\begin{align}
x^2 – y^2 – x &= 0 \\
x(x-1) &= 0
\end{align}
$$
よって$x=0,1$
ⅱ) $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$のとき
$$
\large
\begin{align}
x^2 – y^2 – x &= 0 \\
\frac{1}{4} – y^2 + \frac{1}{2} &= 0 \\
y^2 &= \frac{3}{4}
\end{align}
$$
よって$\displaystyle y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
i)、ⅱ)より、$\displaystyle z = 0, 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$が得られる。
数理技能問題
問題.$1$
$$
\large
\begin{align}
s_1 &= x + y + z \\
s_2 &= xy + yz + zx \\
s_3 &= xyz
\end{align}
$$
上記で表した基本対称式を元に対称式$x^4+y^4+z^4$を表すことを考える。$(x^2+y^2+z^2)^2=x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$より$x^4+y^4+z^4$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
(x^2+y^2+z^2)^2 &= x^4+y^4+z^4+2xyz(x+y+z) \\
x^4+y^4+z^4 &= (x^2+y^2+z^2)^2 – 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) \quad (1)
\end{align}
$$
ここで、$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$より$x^2+y^2+z^2$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
x^2+y^2+z^2 &= (x+y+z)^2 – 2(xy+yz+zx) \\
&= s_1^2 – 2s_2
\end{align}
$$
また、$(xy+yz+zx)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)$より$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 &= (xy+yz+zx)^2 – 2xyz(x+y+z) \\
&= s_2^2 – 2s_3s_1
\end{align}
$$
よって$(1)$式は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
x^4+y^4+z^4 &= (x^2+y^2+z^2)^2 – 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) \quad (1) \\
&= ((x+y+z)^2 – 2(xy+yz+zx))^2 – 2 ((xy+yz+zx)^2 – 2xyz(x+y+z)) \\
&= (s_1^2 – 2s_2)^2 – 2(s_2^2 – 2s_3s_1) \\
&= s_1^4 + 4s_2^2 – 4s_1^2s_2 – 2s_2^2 + 4s_1s_3 \\
&= s_1^4 – 4s_1^2s_2 + 2s_2^2 + 4s_1s_3
\end{align}
$$
問題.$2$
問題.$3$
問題.$4$
問題.$5$
②いろいろな関数
計算技能問題
問題.$1$
$[1]$
$$
\large
\begin{align}
5 \times 10^{7} \mathrm{mm} = 50 \mathrm{km}
\end{align}
$$
$[2]$
$$
\large
\begin{align}
3 \times 10^{-3} \mathrm{kg} = 3 \mathrm{g}
\end{align}
$$
$[3]$
$$
\large
\begin{align}
6 \times 10^{-5} \mathrm{km} = 60 \mathrm{mm}
\end{align}
$$
問題.$2$
$\log_{10} 3^{24}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{10}{3^{24}} &= 24 \log_{10}{3} \\
&= 24 \times 0.4771 \\
&= 11.4504
\end{align}
$$
上記より$10^{11} < 3^{24} < 10^{12}$なので$3^{24}$は$12$桁の数である。
問題.$3$
$\displaystyle \sin{\theta}+\cos{\theta} = \frac{1}{2}$に基づいて下記のような計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2 &= \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \\
\sin^{2}{\theta} + \cos^{2}{\theta} 2 \sin{\theta} \cdot \cos{\theta} &= \frac{1}{4} \\
1 + 2 \sin{\theta} \cdot \cos{\theta} &= \frac{1}{4} \\
2 \sin{\theta} \cdot \cos{\theta} &= -\frac{3}{4} \\
\sin{\theta} \cdot \cos{\theta} &= – \frac{3}{8}
\end{align}
$$
問題.$4$
下記のように計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{75^{\circ}} &= \sin{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right)} \\
&= \sin{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{6}} + \cos{\frac{\pi}{4}}\sin{\frac{\pi}{6}} \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\
&= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \\
&= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{align}
$$
問題.$5$
$\sin{\theta}$は$\displaystyle t = \tan{\frac{\theta}{2}}$を用いて下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{\theta} &= 2 \sin{\frac{\theta}{2}} \cos{\frac{\theta}{2}} \\
&= 2 \tan{\frac{\theta}{2}} \cos^{2}{\frac{\theta}{2}} \\
&= 2 t \cdot \frac{1}{\displaystyle 1 + \tan^{2}{\frac{\theta}{2}}} \\
&= \frac{2t}{1+t^2}
\end{align}
$$
$\cos{\theta}$は$\displaystyle t = \tan{\frac{\theta}{2}}$を用いて下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\cos{\theta} &= 2 \cos^{2}{\frac{\theta}{2}} – 1 \\
&= \frac{2}{\displaystyle 1 + \tan^{2}{\frac{\theta}{2}}} – 1 \\
&= \frac{2}{1+t^2} – 1 \\
&= \frac{2-(1+t^2)}{1+t^2} \\
&= \frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{align}
$$
$\tan{\theta}$は$\displaystyle t = \tan{\frac{\theta}{2}}$を用いて下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\tan{\theta} &= \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \\
&= \frac{2t}{\cancel{1+t^2}} \times \frac{\cancel{1+t^2}}{1-t^2} \\
&= \frac{2t}{1-t^2}
\end{align}
$$
数理技能問題
問題.$1$
下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
100 &= x^5 \\
x &= 100^{\frac{1}{5}} \\
&= 2.51…
\end{align}
$$
問題.$2$
$e$を底とする場合の底の変換公式と$243=3^5, 343=7^3$より、$\log_{2}{3} \cdot \log_{7}{8} \cdot \log_{243}{343}$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{2}{3} \cdot \log_{7}{8} \cdot \log_{243}{343} &= \frac{\log{3}}{\log{2}} \cdot \frac{\log{8}}{\log{7}} \cdot \frac{\log{343}}{\log{243}} \\
&= \frac{\log{3}}{\log{2}} \cdot \frac{\log{2^3}}{\log{7}} \cdot \frac{\log{7^3}}{\log{3^5}} \\
&= \frac{\log{3}}{\log{2}} \cdot \frac{3\log{2}}{\log{7}} \cdot \frac{3\log{7}}{5\log{3}} \\
&= \frac{9}{5} \frac{\cancel{\log{3}}}{\cancel{\log{2}}} \cdot \frac{\cancel{\log{2}}}{\cancel{\log{7}}} \cdot \frac{\cancel{\log{7}}}{\cancel{\log{3}}} \\
&= \frac{9}{5}
\end{align}
$$
問題.$3$
③いろいろな曲線
計算技能問題
問題.$1$
$\displaystyle x = a \cosh{t} = \frac{a(e^{t}+e^{-t})}{2}, x = b \sinh{t} = \frac{b(e^{t}-e^{-t})}{2}$とおくとき$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2}=1$が成立することを以下確認を行う。
$$
\large
\begin{align}
\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} &= \frac{\cancel{a^2} \cosh^{2}{t}}{\cancel{a^2}} – \frac{\cancel{b^2} \sinh^{2}{t}}{\cancel{b^2}} \\
&= \cosh^{2}{t} – \sinh^2{t} \\
&= \frac{(e^{t}+e^{-t})^2}{2^2} – \frac{(e^{t}-e^{-t})^2}{2^2} \\
&= \frac{e^{2t}+e^{-2t}+2}{2^2} – \frac{e^{2t}+e^{-2t}-2}{2^2} \\
&= 1
\end{align}
$$
したがって、$\displaystyle x = a \cosh{t} = \frac{a(e^{t}+e^{-t})}{2}, x = b \sinh{t} = \frac{b(e^{t}-e^{-t})}{2}$は双曲線の標準形の方程式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2}=1$の媒介変数表示であると考えられる。
問題.$2$
問題.$3$
$x^2-2ax+y^2=0$に$x = r \cos{\theta}, y = r \sin{\theta}$を代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
x^2 – 2ax + y^2 &= 0 \\
r^2 \cos^2{\theta} – 2a r \cos{\theta} + r^2 \sin^2{\theta} &= 0 \\
r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}) &= 2a r \cos{\theta} \\
r^2 &= 2a r \cos{\theta} \\
r &= 2a \cos{\theta}
\end{align}
$$
・考察
$x^2-2ax+y^2=0, \, a>0$は$(x-a)^2+y^2=a^2$のように変形できるので、中心$(a,0)$、半径$a$の円の方程式を表す。この変換は重積分に対して変数変換を行う際などに応用されるので、合わせて抑えておくと良い。