ブログ

計量ベクトル空間におけるベクトルの正規化(normalization)

計量ベクトル空間で内積を元に定義されるノルムが$1$になるようにベクトルの大きさの調整を行うことをベクトルの正規化(normalization)といいます。当記事では計量ベクトル空間におけるベクトルの正規化の流れと計算例について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$5$章「ベクトル空間」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

計量ベクトル空間におけるベクトルの正規化

計量ベクトル空間とベクトルのノルム

内積$(\mathbf{v}, \mathbf{w})$が定義された$\mathbb{R}$上の実計量ベクトル空間$V$におけるベクトル$\mathbf{v} \in V$のノルム$||\mathbf{v}||$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
||\mathbf{v}|| = \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})}
\end{align}
$$

ベクトルの正規化

実計量ベクトル空間$V$上のベクトル$\mathbf{v} \in V$は$\mathbf{v}$のノルム$||\mathbf{v}||$を用いて下記を計算することで正規化を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} = \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})}}
\end{align}
$$

標準内積

$\mathbb{R}$上の$n$次元ベクトル空間$\mathbb{R}^{n}$上の$2$つのベクトル$\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}, \, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} &= \left( \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right) \\
\mathbf{w} &= \left( \begin{array}{c} w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$

このとき標準内積$(\mathbf{v}, \mathbf{w})$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{v} = v_{1} w_{1} + \cdots v_{n} w_{n}
\end{align}
$$

ベクトルの正規化の計算例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$136$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ノルム$||\mathbf{v}||$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
||\mathbf{v}|| = \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}
\end{align}
$$

よってベクトル$\mathbf{v}$は下記のように正規化することができる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} = \frac{1}{\sqrt{10}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ノルム$||\mathbf{v}||$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
||\mathbf{v}|| = \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})} = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{3}
\end{align}
$$

よってベクトル$\mathbf{v}$は下記のように正規化することができる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ノルム$||\mathbf{v}||$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
||\mathbf{v}|| = \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})} = \sqrt{1^2+3^2+2^2+2^2} = 3 \sqrt{2}
\end{align}
$$

よってベクトル$\mathbf{v}$は下記のように正規化することができる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[4]$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ノルム$||\mathbf{v}||$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
||\mathbf{v}|| = \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})} = \sqrt{3^2+1^2+1^2+(-2)^2+1^2} = 4
\end{align}
$$

よってベクトル$\mathbf{v}$は下記のように正規化することができる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} = \frac{1}{4} \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ベクトルのノルム(norm)となす角($\cos{\theta}$)の計算法・計算例

計量ベクトル空間の$V$では内積(dot product)の値に基づいてベクトル$\mathbf{v}$の大きさ・ノルム(norm)や$\mathbf{v}, \mathbf{w}$のなす角を定義することができます。当記事ではベクトルのノルムやなす角の計算法や計算例について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$7$章「内積」の内容を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

ベクトルのノルムとなす角

計量ベクトル空間と標準内積

$K$上のベクトル空間$V$内の$2$つのベクトル$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$について、内積$(\mathbf{v}, \mathbf{w})$が定義された空間を計量ベクトル空間という。特に$K=\mathbb{R}$のとき実計量ベクトル空間、$K=\mathbb{C}$のとき複素計量ベクトル空間という。

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} &= \left( \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right) \\
\mathbf{w} &= \left( \begin{array}{c} w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記のように$n$次元の実計量ベクトル空間$\mathbb{R}^{n}$の$2$つのベクトル$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$が定義されるとき、標準内積$(\mathbf{v}, \mathbf{w})$は下記のような式で定義される。
$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{v} = v_{1} w_{1} + \cdots v_{n} w_{n}
\end{align}
$$

ベクトルのノルム

計量ベクトル空間$V$内のベクトル$\mathbf{v} \in V$のノルム$||\mathbf{v}||$は計量ベクトル空間の内積に基づいて下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
||\mathbf{v}|| = \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})}
\end{align}
$$

ベクトルのノルムのことをベクトルの大きさという場合もある。

ベクトルのなす角

計量ベクトル空間$V$内の$2$つのベクトル$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$のなす角を$\theta \, (0 \leq \theta \leq \pi)$とおくと、$\theta$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\cos{\theta} = \frac{(\mathbf{v}, \mathbf{w})}{||\mathbf{v}|| ||\mathbf{w}||}
\end{align}
$$

ベクトルのノルム・なす角の計算例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$135$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{w} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ノルム$||\mathbf{v}||, ||\mathbf{w}||$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
||\mathbf{v}|| &= \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})} = \sqrt{2^2+0^2} = 2 \\
||\mathbf{w}|| &= \sqrt{(\mathbf{w}, \mathbf{w})} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}
\end{align}
$$

また、ベクトル$\mathbf{v}$と$\mathbf{w}$のなす角を$\theta \, (0 \leq \theta \leq \pi)$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\cos{\theta} &= \frac{(\mathbf{v}, \mathbf{w})}{||\mathbf{v}|| ||\mathbf{w}||} \\
&= \frac{\cancel{2}}{\cancel{2} \sqrt{2}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}
$$

ここで$0 \leq \theta \leq \pi$であるので上記より$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$が得られる。

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{w} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ノルム$||\mathbf{v}||, ||\mathbf{w}||$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
||\mathbf{v}|| &= \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})} = \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} = \sqrt{2} \\
||\mathbf{w}|| &= \sqrt{(\mathbf{w}, \mathbf{w})} = \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{6}
\end{align}
$$

また、ベクトル$\mathbf{v}$と$\mathbf{w}$のなす角を$\theta(0 \leq \theta \leq \pi)$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\cos{\theta} &= \frac{(\mathbf{v}, \mathbf{w})}{||\mathbf{v}|| ||\mathbf{w}||} \\
&= \frac{-3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} \\
&= -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}
$$

ここで$0 \leq \theta \leq \pi$であるので上記より$\displaystyle \theta = \frac{5}{6}\pi$が得られる。

・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{w} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ノルム$||\mathbf{v}||, ||\mathbf{w}||$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
||\mathbf{v}|| &= \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})} = \sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2} = 2 \\
||\mathbf{w}|| &= \sqrt{(\mathbf{w}, \mathbf{w})} = \sqrt{0^2+1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}
\end{align}
$$

また、ベクトル$\mathbf{v}$と$\mathbf{w}$のなす角を$\theta(0 \leq \theta \leq \pi)$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\cos{\theta} &= \frac{(\mathbf{v}, \mathbf{w})}{||\mathbf{v}|| ||\mathbf{w}||} \\
&= \frac{3}{2 \sqrt{3}} \\
&= \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}
$$

ここで$0 \leq \theta \leq \pi$であるので上記より$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$が得られる。

基底変換(change of basis)と線形写像の表現行列

ベクトル空間$V$の基底を同じベクトル空間上の基底に写すにあたって用いられる行列を基底の変換行列(change of basis matrix)といいます。当記事では基底変換(change of basis)を伴う線形写像の表現行列(representation matrix)について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

基底変換を伴う線形写像の表現行列

ベクトル空間と基底の定義

$2$つのベクトル空間$V, W$を定義し、$V, W$についてそれぞれ$2$つの基底を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
V &= \left< \mathbf{v}_{1}, \, \cdots , \, \mathbf{v}_{n} \right>, \, \left< \mathbf{v}_{1}’, \, \cdots , \,\mathbf{v}_{n}’ \right> \\
W &= \left< \mathbf{w}_{1}, \, \cdots , \, \mathbf{w}_{n} \right>, \, \left< \mathbf{w}_{1}’, \, \cdots , \, \mathbf{w}_{n}’ \right>
\end{align}
$$

基底の変換行列の定義

$V$の基底変換と$W$の基底変換を基底の変換行列$P, Q$を用いてそれぞれ下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1}’ & \cdots & \mathbf{v}_{n}’ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \cdots & \mathbf{v}_{n} \end{array} \right) P \\
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1}’ & \cdots & \mathbf{w}_{n}’ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{n} \end{array} \right) Q
\end{align}
$$

基底変換を伴う線形写像の表現行列

線形変換$f:V \longrightarrow W$を表現行列$A, A’$を用いてをそれぞれ下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{n} \end{array} \right) A \\
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}’) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}’) \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1}’ & \cdots & \mathbf{w}_{n}’ \end{array} \right) A’ \quad (1.1)
\end{align}
$$

ここで$f$が線形変換であることから下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}’) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}’) \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) P
\end{align}
$$

よって、表現行列$A’$について下記の式が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}’) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}’) \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) P \\
&= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{n} \end{array} \right) A P \\
&= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1}’ & \cdots & \mathbf{w}_{n}’ \end{array} \right) Q^{-1} A P \quad (1.2)
\end{align}
$$

$(1)$式と$(2)$式より$A’ = Q^{-1} A P$が成立する。

計算例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$126$

$$
\large
\begin{align}
f(\mathbf{v}_{1}) &= \mathbf{w}_{1} + 5 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{2}) &= \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{3}) &= 3 \mathbf{w}_{1} + 7 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{4}) &= 2 \mathbf{w}_{1} + 6 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{5}) &= \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}
\end{align}
$$

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{w}_{1}’ &= \mathbf{w}_{1} + 5 \mathbf{w}_{2} \\
\mathbf{w}_{2}’ &= \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}
\end{align}
$$

上記より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
& \left( \begin{array}{ccccc} f(\mathbf{v}_{1}’) & f(\mathbf{v}_{2}’) & f(\mathbf{v}_{3}’) & f(\mathbf{v}_{4}’) & f(\mathbf{v}_{5}’) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccccc} f(\mathbf{v}_{2}) & f(\mathbf{v}_{3}) & f(\mathbf{v}_{1}) & f(\mathbf{v}_{5}) & f(\mathbf{v}_{4}) \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccccc} f(\mathbf{v}_{1}) & f(\mathbf{v}_{2}) & f(\mathbf{v}_{3}) & f(\mathbf{v}_{4}) & f(\mathbf{v}_{5}) \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \mathbf{w}_{1} & \mathbf{w}_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 & 6 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \mathbf{w}_{1}’ & \mathbf{w}_{2}’ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 & 6 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc} \mathbf{w}_{1}’ & \mathbf{w}_{2}’ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 5 & -1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 & 6 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \mathbf{w}_{1}’ & \mathbf{w}_{2}’ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

よって表現行列$A’=Q^{-1}AP$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
A’ = Q^{-1}AP = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

基本例題$127$

重要例題$065$

重要例題$066$

重要例題$067$

基底の変換行列(change of basis matrix)の概要と計算例

ベクトル空間$V$の基底を同じベクトル空間上の基底に写すにあたって用いられる行列を基底の変換行列(change of basis matrix)といいます。当記事では基底の変換行列(change of basis matrix)の概要と具体例について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

基底の変換行列の概要

$n$次元ベクトル空間$V$の$2$つの基底を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1}, \, \cdots , \, \mathbf{v}_{n} \right\} \quad (1) \\
\left\{ \mathbf{v}_{1}’, \, \cdots , \, \mathbf{v}_{n}’ \right\} \quad (2)
\end{align}
$$

上記に対し、$V$の$1$次変換$\varphi: V \longrightarrow V$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\varphi(\mathbf{v}_{i}) = \mathbf{v}_{i}’
\end{align}
$$

このとき$(1)$と$(2)$に関する$1$次変換の表現行列を$P$とおくと、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1}’ & \cdots & \mathbf{v}_{n}’ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \cdots & \mathbf{v}_{n} \end{array} \right) P
\end{align}
$$

上記の行列$P$を基底$(1)$から基底$(2)$への変換行列という。基底の変換行列は正則行列であるので、上記の行列$P$は$n$次正則行列である。

基底の変換行列の例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$125$

$$
\large
\begin{align}
& \left\{ \mathbf{v}_{1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \right\} \\
& \left\{ \mathbf{v}_{1}’ = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2}’ = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3}’ = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$

基底の変換行列を$P$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1}’ & \mathbf{v}_{2}’ & \mathbf{v}_{3}’ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right) P \\
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) P \\
P &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$

逆行列の計算にあたっては、掃き出し法を用いることで得ることができる。掃き出し法については下記で詳しく取り扱った。

重要例題$064$

$[1]$

$$
\large
\begin{align}
& \left\{ \mathbf{v}_{1} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) \right\} \\
& \left\{ \mathbf{e}_{1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{e}_{2} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{e}_{3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$

基底の変換行列を$P$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \mathbf{e}_{3} \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right) P \\
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) P \\
P &= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -4 \end{array} \right)
\end{align}
$$

$[2]$

$$
\large
\begin{align}
& \left\{ \mathbf{v}_{1} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) \right\} \\
& \left\{ \mathbf{v}_{1}’ = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2}’ = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3}’ = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$

基底の変換行列を$P$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1}’ & \mathbf{v}_{2}’ & \mathbf{v}_{3}’ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right) P \\
\left( \begin{array}{ccc} -3 & -6 & 2 \\ 3 & 5 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) P \\
P &= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} -3 & -6 & 2 \\ 3 & 5 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -3 & -6 & 2 \\ 3 & 5 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -4 & 1 \\ 7 & 10 & -4 \\ -4 & -13 & 4 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ベクトル空間の基底の内積に基づくグラム行列(gram matrix)の定義と計算例

グラム行列(gram matrix)はベクトル空間の基底の内積に基づいて定義されカーネル法(kernel method)などに用いられます。当記事ではグラム行列(gram matrix)の定義とチャート式線形代数の演習問題の計算例について確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$7$章「内積」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

グラム行列

グラム行列の定義

$n$次元ベクトル空間$V$の基底を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots , \mathbf{v}_{n} \right\}
\end{align}
$$

このとき$\mathbf{v}_{i}$と$\mathbf{v}_{j}$の内積を$(\mathbf{v}_{i},\mathbf{v}_{j})$とおくと、グラム行列$G$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
G = \left( \begin{array}{ccc} (\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{1}) & \cdots & (\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{n}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (\mathbf{v}_{n},\mathbf{v}_{1}) & \cdots & (\mathbf{v}_{n},\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right)
\end{align}
$$

グラム行列の計算例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$147$

$$
\large
\begin{align}
(f, g) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)g(x) dx \quad (1)
\end{align}
$$

基底${ \sin{x}, \cos{x} }$について内積$(\sin{x}, \sin{x}), \, (\sin{x}, \cos{x})=(\cos{x}, \sin{x}), \, (\cos{x}, \cos{x})$は$(1)$式に基づいてそれぞれ下記のように計算できる。
・$(\sin{x}, \sin{x})$
$$
\large
\begin{align}
(\sin{x}, \sin{x}) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}{x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 – \cos{2x}) dx \\
&= \frac{1}{2} \left[ x – \frac{1}{2}\sin{2x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} – 0 \right) \\
&= \frac{1}{4} \pi
\end{align}
$$

・$(\sin{x}, \cos{x}) = (\cos{x}, \sin{x})$
$$
\large
\begin{align}
(\sin{x}, \cos{x}) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} \cos{x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{2x} dx \\
&= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos{2x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= -\frac{1}{4} (-1-1) \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
$$

・$(\cos{x}, \cos{x})$
$$
\large
\begin{align}
(\sin{x}, \sin{x}) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}{x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos{2x}) dx \\
&= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{2}\sin{2x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} – 0 \right) \\
&= \frac{1}{4} \pi
\end{align}
$$

したがって、グラム行列$G$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
G &= \left( \begin{array}{cc} (\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{1}) & (\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}) \\ (\mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{1}) & (\mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{2}) \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} (\sin{x}, \sin{x}) & (\sin{x}, \cos{x}) \\ (\cos{x}, \sin{x}) & (\cos{x}, \cos{x}) \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc} \pi & 2 \\ 2 & \pi \end{array} \right)
\end{align}
$$

正則行列の基本行列(elementary matrix)の積への分解

行基本変形は基本行列(elementary matrix)の積による操作によって表すことができるなど、基本行列は
よく出てくるので抑えておくと良いです。当記事では正則行列(regular matrix)の基本行列(elementary matrix)の積への分解について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$3$節「行列の構造」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

正則行列と基本行列の積

正則行列の定義と判定

逆行列$A^{-1}$を持つ正方行列$A$を正則行列(regular matrix)という。$n$次正方行列$A$について、下記の$[1], [2], [3]$は同値である。
$[1] \,$ $A$が正則行列である
$[2] \,$ $\mathrm{rank}{A} = n$
$[3] \,$ $A$が有限個の基本行列の積に等しい

上記より、$[2]$または$[3]$が成立する行列$A$は正則行列であると判定することができる。

基本変形と標準形

行基本変形を行うことで行列を「簡約階段形」に変形することができる。また、「簡約階段形」に列基本変形を行うことで「標準形」を得ることができる。「簡約階段形」と「標準形」はそれぞれの行列に対し、一意に定まる。

「正則行列(regular matrix)」は$\mathrm{rank}{A} = n$であり、「簡約階段形」は「上三角行列」、「標準形」は「単位行列」にそれぞれ対応する。

正則行列の基本行列の積への分解

「正則行列」に「行基本変形」と「列基本変形」を施して得られる「標準形」は単位行列に一致する。よって、「標準形」を得るにあたって行った「行基本変形」と「列基本変形」に対応する有限個の基本行列の積によって正則行列を表すことができる。

「正則行列」を基本行列の積で表すにあたっては基本行列の逆行列について抑えておく必要がある。下記にそれぞれの公式をまとめた。
$$
\large
\begin{align}
(P_{ij})^{-1} &= P_{ij} \\
(P_{i}(c))^{-1} &= P_{i} \left( \frac{1}{c} \right) \\
P_{ij}(a) &= P_{ij}(-a)
\end{align}
$$

上記の詳しい導出などは下記で取り扱った。

具体例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$020$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記は下記のように「行基本変形」することができる。
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right) & \longrightarrow \left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記の行基本変形は基本行列の積$P_{12}P_{12}(-2)P_{21}(-1)$を左からかけることに対応する。また、$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$は下記のように「列基本変形」できる。
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \longrightarrow \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記の列基本変形は基本行列$P_{21}(-1)$を右からかけることに対応する。よって行列$A$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
P_{12}P_{12}(-2)P_{21}(-1) A P_{21}(-1) &= I_{2} \\
A &= P_{21}(-1)^{-1} P_{12}(-2)^{-1} P_{12}^{-1} P_{21}(-1)^{-1} \\
&= P_{21}(1) P_{12}(2) P_{12} P_{21}(1)
\end{align}
$$

「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の解答では$P_{21}(1) P_{12} P_{21}(2) P_{21}(1)$が得られるが、具体的な行列表記で計算すると同じ結果が得られる。同じ「標準形」を得るにあたって、複数の「基本変形」があると解釈しておけば良い。

表現行列③:導関数をとる線形写像の表現行列(representation matrix)

ベクトル空間$V$からベクトル空間$W$への線形写像$f:V \longrightarrow W$について、それぞれのベクトル空間$V, W$の基底に基づく演算の際に表現行列(representation matrix)が用いられます。当記事では導関数をとる線形写像の表現行列について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

導関数をとる線形写像の表現行列

表現行列

$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$

線形写像$f:V \longrightarrow W$の表現行列$A$は上記を元に下記のように定義される。

$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$

詳しくは下記で取り扱った。
https://www.hello-statisticians.com/math_basic/representation_matrix1.html

導関数をとる線形写像の表現行列

導関数をとる線形写像の表現行列の例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$121$

線形写像$\displaystyle \frac{d}{dx}:W_{n} \longrightarrow W_{n-1}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d}{dx} 1 = 0, \, \frac{d}{dx} x = 1, \, \frac{d}{dx} x^{2} = 2x, \, \frac{d}{dx} x^{3} = 3x^{2}
\end{align}
$$

上記より下記のような式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccc} \displaystyle \frac{d}{dx} 1 & \displaystyle \frac{d}{dx} x & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{2} & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{3} \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2x & 3x^{2} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 1 & x & x^{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

よってここでの線形写像と$W_{3}$と$W_{2}$のそれぞれの基底についての表現行列$A$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

基本例題$124$

線形写像$\displaystyle \frac{d^{2}}{dx^{2}}:W_{n} \longrightarrow W_{n-2}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d^{2}}{dx^{2}} 1 = 0, \, \frac{d^{2}}{dx^{2}} x = 0, \, \frac{d^{2}}{dx^{2}} x^{2} = 2, \, \frac{d^{2}}{dx^{2}} x^{3} = 6x
\end{align}
$$

上記より下記のような式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccc} \displaystyle \frac{d}{dx} 1 & \displaystyle \frac{d}{dx} x & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{2} & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{3} \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 2 & 6x \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 1 & x \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)
\end{align}
$$

よってここでの線形写像と$W_{3}$と$W_{1}$のそれぞれの基底についての表現行列$A$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)
\end{align}
$$

重要例題$062$

線形写像$\displaystyle \frac{d}{dx}:W_{n} \longrightarrow W_{n-1}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d}{dx} 1 = 0, \, \frac{d}{dx} x = 1, \, \frac{d}{dx} x^{2} = 2x, \, \cdots , \, \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n-1}
\end{align}
$$

上記より下記のような式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
& \left( \begin{array}{ccccc} \displaystyle \frac{d}{dx} 1 & \displaystyle \frac{d}{dx} x & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{2} & \cdots & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2x & \cdots & nx^{n-1} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cccc} 1 & x & \cdots & x^{n-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n \end{array} \right)
\end{align}
$$

よってここでの線形写像と$W_{n}$と$W_{n-1}$のそれぞれの基底についての表現行列$A$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n \end{array} \right)
\end{align}
$$

表現行列②:零写像・恒等写像と表現行列(representation matrix)

ベクトル空間$V$からベクトル空間$W$への線形写像$f:V \longrightarrow W$について、それぞれのベクトル空間$V, W$の基底に基づく演算の際に表現行列(representation matrix)が用いられます。当記事では零写像・恒等写像と表現行列について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

表現行列と零写像・恒等写像

表現行列

$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$

線形写像$f:V \longrightarrow W$の表現行列$A$は上記を元に下記のように定義される。

$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$

詳しくは下記で取り扱った。
https://www.hello-statisticians.com/math_basic/representation_matrix1.html

零写像

恒等写像

零写像・恒等写像の表現行列

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$123$

$[1]$

$n$次元ベクトル空間$K^{n}$と$m$次元ベクトル空間$K^{m}$の標準基底をそれぞれ下記のようにおく。
・$K^{n}$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{e}_{1}, \cdots , \mathbf{e}_{n} \right\}
\end{align}
$$

・$K^{m}$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{e}_{1}’, \cdots , \mathbf{e}_{m}’ \right\}
\end{align}
$$

このとき$0(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{0}$より、下記のような式が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 0(\mathbf{e}_{1}) & \cdots & 0(\mathbf{e}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{e}_{1}’ & \cdots & \mathbf{e}_{m}’ \end{array} \right) O
\end{align}
$$

上記より「零写像$0:K^{n} \longrightarrow K^{m}$」の「$K^{n}$の標準基底と$K^{m}$の標準基底」に関する表現行列は零行列$O$である。

$[2]$

$n$次元ベクトル空間$K^{n}$の標準基底を下記のようにおく。
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{e}_{1}, \cdots , \mathbf{e}_{n} \right\}
\end{align}
$$

このとき$\mathrm{id}(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{e}_{i}$より、下記のような式が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathrm{id}(\mathbf{e}_{1}) & \cdots & \mathrm{id}(\mathbf{e}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{e}_{1} & \cdots & \mathbf{e}_{n} \end{array} \right) I_{n}
\end{align}
$$

上記より「恒等写像$\mathrm{id}:K^{n} \longrightarrow K^{n}$」の「$K^{n}$の標準基底」に関する表現行列は恒等写像$I_{n}$である。

表現行列①:線形写像と表現行列(representation matrix)

ベクトル空間$V$からベクトル空間$W$への線形写像$f:V \longrightarrow W$について、それぞれのベクトル空間$V, W$の基底に基づく演算の際に表現行列(representation matrix)が用いられます。当記事では線形写像と表現行列について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

線形写像と表現行列

ベクトル空間の基底と線形写像

$n$次元ベクトル空間$V$と$m$次元ベクトル空間の基底をそれぞれ下記のように定義する。
・$V$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1}, \cdots , \mathbf{v}_{n} \right\} \quad (1)
\end{align}
$$

・$W$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{w}_{1}, \cdots , \mathbf{w}_{m} \right\} \quad (2)
\end{align}
$$

上記はそれぞれ$n$次元ベクトル空間と$m$次元ベクトル空間であるので$\mathrm{dim}{V}=n, \, \mathrm{dim}{W}=m$が成立する。ここで線形写像$f:V \longrightarrow W$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
f(\mathbf{v}_{j}) &= a_{1j} \mathbf{w}_{1} + \cdots + a_{mj} \mathbf{w}_{m} \\
&= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right) \quad (3)
\end{align}
$$

線形写像と表現行列

線形写像$f:V \longrightarrow W$を$(1), (2)$の基底について表した$(3)$式を元に下記のような式を得ることができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記を元に表現行列$A$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$

表現写像$A$は線形写像$f:V \longrightarrow W$の特定の基底$\displaystyle \left\{ \mathbf{v}_{1}, \cdots , \mathbf{v}_{n} \right\}$と$\displaystyle \left\{ \mathbf{w}_{1}, \cdots , \mathbf{w}_{n} \right\}$の組について定義されたものであることに注意しておくと良い。このため線形写像$f$だけでは表現行列が一意に決まらない。「表現写像 $\iff$ 線形写像+ベクトル空間の基底」の対応で抑えておくとよい。

表現行列の例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$122$

$$
\large
\begin{align}
f : V & \longrightarrow W, \, \mathrm{dim}{V}=5, \, \mathrm{dim}{W}=2 \\
f(\mathbf{v}_{1}) &= \mathbf{w}_{1} + 5 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{2}) &= \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{3}) &= 3 \mathbf{w}_{1} + 7 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{4}) &= 2 \mathbf{w}_{1} + 6 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{5}) &= \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}
\end{align}
$$

上記は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccccc} f(\mathbf{v}_{1}) & f(\mathbf{v}_{2}) & f(\mathbf{v}_{3}) & f(\mathbf{v}_{4}) & f(\mathbf{v}_{5}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \mathbf{w}_{1} & \mathbf{w}_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 & 6 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

よって表現行列$A$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 & 6 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

重要例題$063$

$$
\large
\begin{align}
f : V & \longrightarrow W, \, \mathrm{dim}{V}=4, \, \mathrm{dim}{W}=3 \\
f(\mathbf{v}_{1}) &= \mathbf{w}_{1} + 3 \mathbf{w}_{2} + 2 \mathbf{w}_{3} \\
f(\mathbf{v}_{2}) &= 2 \mathbf{w}_{1} + 6 \mathbf{w}_{2} + 4 \mathbf{w}_{3} \\
f(\mathbf{v}_{3}) &= 2 \mathbf{w}_{2} + \mathbf{w}_{3} \\
f(\mathbf{v}_{4}) &= 2 \mathbf{w}_{1} + 4 \mathbf{w}_{2} + 3 \mathbf{w}_{3}
\end{align}
$$

上記は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccc} f(\mathbf{v}_{1}) & f(\mathbf{v}_{2}) & f(\mathbf{v}_{3}) & f(\mathbf{v}_{4}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \mathbf{w}_{2} & \mathbf{w}_{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

よって表現行列$A$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

クラメールの公式(Cramer’s rule)を用いた連立一次方程式の解法

クラメールの公式(Cramer’s rule)を用いることで連立一次方程式を行列式(determinant)の計算に基づいて解くことが可能になります。当記事ではクラメールの公式の式と問題演習を通した計算例の確認について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$4$章「行列式」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

クラメールの公式

$n$個の未知数についての$n$個方程式からなる連立$1$次方程式$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
A \mathbf{x} &= \mathbf{b} \\
A &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) \\
\mathbf{a}_{i} &= \left( \begin{array}{c} a_{1i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{ni} \end{array} \right), \, \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right), \, \mathbf{b} = \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$

このとき、連立$1$次方程式$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$の解$\mathbf{x}$の$i$番目の成分$x_{i}$は下記に基づいて計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
x_{i} = \frac{\det{\left( \begin{array}{ccccccc} \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{i-1} & \mathbf{b} & \mathbf{a}_{i+1} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{array} \right)}}{\det{(A)}}
\end{align}
$$

上記をクラメールの公式という。

クラメールの公式の使用例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$073$

・$[1]$
$$
\large
\begin{cases}
2x – 3y = 1 \\
3x + 4y = 2
\end{cases}
$$

上記の連立方程式は下記のような行列表記で表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記に対してクラメールの公式を適用することで、$x, y$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
x &= \frac{\left| \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{array} \right|} \\
&= \frac{4+6}{8+9} \\
&= \frac{10}{17} \\
y &= \frac{\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{array} \right|} \\
&= \frac{4-3}{8+9} \\
&= \frac{1}{17}
\end{align}
$$