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高校数学における内積の計算式は一般的には標準内積(inner product)といわれます。高校数学では実数ベクトルのみを主に取り扱いますが、当記事では複素数体$\mathbb{C}$におけるベクトル空間上の標準内積の定義とその性質に関して取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$7$章「内積」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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エルミート内積と標準内積

エルミート内積

$V$を複素数体$\mathbb{C}$上のベクトル空間における任意の$2$つのベクトル$\mathbf{v} \in V, \mathbf{w} \in V$に対し、$(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \in \mathbb{C}$を定める。

このとき、下記が成立すれば$(\mathbf{v}, \mathbf{w})$はエルミート内積である。

$(H1) \quad$ $(\mathbf{v}, \mathbf{w})$は第$1$成分に関して$\mathbb{C}$上線形であり、下記が成立する。
$\quad [1] \quad$ $(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\mathbf{w})=(\mathbf{v}_1,\mathbf{w})+(\mathbf{v}_2,\mathbf{w})$
$\quad [2] \quad$ $(k\mathbf{v}_1,\mathbf{w})=k(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}) \, k \in \mathbb{C}$
$(H2) \quad$ $(\mathbf{v}, \mathbf{w})$は第$2$成分に関して$\mathbb{C}$上線形であり、下記が成立する。
$\quad [1] \quad$ $(\mathbf{v},\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2)=(\mathbf{v},\mathbf{w}_1)+(\mathbf{v},\mathbf{w}_2)$
$\quad [2] \quad$ $(\mathbf{v}_1,k\mathbf{w})=\bar{k}(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}) \, k \in \mathbb{C}$
$(H3) \quad$ $(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \overline{(\mathbf{v}, \mathbf{w})}$
$(H4) \quad$ 任意の$\mathbf{v} \in V$に対し、$(\mathbf{v},\mathbf{v}) \geq 0$であり、$(\mathbf{v},\mathbf{v})=0$となるのは$\mathbf{v}=\mathbf{0}$であるときに限る。

標準内積

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} &= \left(\begin{array}{c} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array} \right) \\
\mathbf{w} &= \left(\begin{array}{c} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$
複素体$\mathbb{C}$上の$n$次元数ベクトル空間$\mathbb{C}^{n}$に上記の$2$つのベクトルを定める。

このとき標準内積$(\mathbf{v}, \mathbf{w})$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = a_{1} \overline{b_1} + \cdots + a_{1} \overline{b_n}
\end{align}
$$

エルミート内積・標準内積の性質

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$132$

$$
\large
\begin{align}
(a_1\mathbf{v}_1 &+ a_2\mathbf{v}_2, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) \\
&= a_1 \overline{b_1}(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_1) + a_1 \overline{b_2}(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_2) + a_2 \overline{b_1}(\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1) +a_2 \overline{b_2}(\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_2)
\end{align}
$$

上記が複素数体$\mathbb{C}$上で成立することをエルミート内積の定義を用いて下記に示す。
$$
\large
\begin{align}
& (a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) \\
&= (a_1\mathbf{v}_1, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) + (a_2\mathbf{v}_2, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) \\
&= a_1(\mathbf{v}_1, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) + a_2(\mathbf{v}_2, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) \\
&= a_1(\mathbf{v}_1, b_1\mathbf{w}_1) + a_1(\mathbf{v}_1, b_2\mathbf{w}_2) + a_2(\mathbf{v}_2, b_1\mathbf{w}_1) + a_2(\mathbf{v}_2, b_2\mathbf{w}_2) \\
&= a_1 \overline{b_1}(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_1) + a_1 \overline{b_2}(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_2) + a_2 \overline{b_1}(\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1) +a_2 \overline{b_2}(\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_2)
\end{align}
$$

基本例題$133$

$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{0}, \mathbf{w}) = (\mathbf{v},\mathbf{0}) = 0
\end{align}
$$

上記が複素数体$\mathbb{C}$上で成立することをエルミート内積の定義を用いて下記に示す。
$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{0}, \mathbf{w}) &= (0 \cdot \mathbf{v}, \mathbf{w}) \\
&= 0 \cdot (\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0
\end{align}
$$

$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{v}, \mathbf{0}) &= (\mathbf{v}, 0 \cdot \mathbf{w}) \\
&= \bar{0} \cdot (\mathbf{v}, \mathbf{w}) \\
&= 0 \cdot (\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0
\end{align}
$$

基本例題$134$

累次積分(repeated integral)は「$1$変数関数の積分を繰り返すことで多重積分を計算する積分の計算法」です。累次積分を用いることで多重積分を$1$変数の積分に帰着することが可能です。当記事では長方形領域における累次積分の計算の流れとその具体例に関して取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$7$章「積分(多変数)」を主に参考にしました。

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長方形領域における累次積分の計算の流れ

累次積分は、「$1$変数関数の積分を繰り返すことで多重積分を計算する積分の計算法」である。累次積分を用いることで多重積分の計算が$1$変数の積分の計算に帰着できる。連続関数$f(x,y)$の長方形領域$[a,b] \times [c,d]$における重積分に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} (x+y) dx dy &= \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) dx dy = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) dy dx \\
D &= [a,b] \times [c,d]
\end{align}
$$

上記は次節で取り扱う「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の基本例題$126$で主に取り扱われている。また、$f(x,y)=g(x)h(y)$のように表せる場合、下記のように表すこともできる。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) dx dy = \int_{a}^{b} g(x) dx \cdot \int_{c}^{d} h(y) dx
\end{align}
$$

上記は「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の基本例題$127$で主に取り扱われているので次節で確認を行う。

長方形領域における累次積分の使用例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$126.(1)$

$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} (x+y) dx dy, \quad D = [0,1] \times [0,2]
\end{align}
$$

・$x$を先に積分
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} (x+y) dx dy &= \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x+y) dx dy \\
&= \int_{0}^{2} \left[ \frac{1}{2}x^2 + xy \right]_{x=0}^{x=1} dy \\
&= \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2} + y \right) dy \\
&= \left[ \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}y^2 \right]_{0}^{2} \\
&= \frac{2}{2} + \frac{4}{2} = 3
\end{align}
$$

・$y$を先に積分
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} (x+y) dx dy &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (x+y) dy dx \\
&= \int_{0}^{1} \left[ xy + \frac{1}{2}y^2 \right]_{y=0}^{y=2} dx \\
&= \int_{0}^{1} \left( 2x + 2 \right) dx \\
&= \left[ x^2 + 2x \right]_{0}^{1} \\
&= 1+2 = 3
\end{align}
$$

基本例題$126.(2)$

$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} (2x^2+y^2) dx dy, \quad D = [0,1] \times [0,1]
\end{align}
$$

・$x$を先に積分
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} (2x^2+y^2) dx dy &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (2x^2+y^2) dx dy \\
&= \int_{0}^{1} \left[ \frac{2}{3}x^3 + xy^2 \right]_{x=0}^{x=1} dy \\
&= \int_{0}^{1} \left( \frac{2}{3} + y^2 \right) dy \\
&= \left[ \frac{2}{3}y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1
\end{align}
$$

・$y$を先に積分
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} (2x^2+y^2) dx dy &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (2x^2+y^2) dy dx \\
&= \int_{0}^{1} \left[ 2x^2y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{y=0}^{y=1} dx \\
&= \int_{0}^{1} \left( 2x^2 + \frac{1}{3} \right) dy \\
&= \left[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{3}x \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1
\end{align}
$$

基本例題$126.(3)$

$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} \sin{(x+y)} dx dy, \quad D = [0,\pi] \times \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]
\end{align}
$$

・$x$を先に積分
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} \sin{(x+y)} dx dy &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\pi} \sin{(x+y)} dx dy \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ -\cos{(x+y)} \right]_{x=0}^{x=\pi} dy \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( -\cos{(y+\pi)} + \cos{y} \right) dy \\
&= \left[ -\sin{(y+\pi)} + \sin{y} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \left(-\sin{\frac{3}{2}\pi}+\sin{\frac{\pi}{2}}\right) – (-\sin{\pi}+\sin{0}) = 2
\end{align}
$$

・$y$を先に積分
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} \sin{(x+y)} dx dy &= \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{(x+y)} dy dx \\
&= \int_{0}^{\pi} \left[ -\cos{(x+y)} \right]_{y=0}^{y=\frac{\pi}{2}} dx \\
&= \int_{0}^{\pi} \left( \cos{\left( x+\frac{\pi}{2} \right)} – \cos{x} \right) dx \\
&= \left[ \sin{x} – \sin{\left( x+\frac{\pi}{2} \right)} \right]_{0}^{\pi} \\
&= \left( \sin{\pi} – \sin{\frac{3}{2}\pi} \right) – \left( \sin{0} – \sin{\frac{\pi}{2}} \right) = 2
\end{align}
$$

基本例題$127.(1)$

$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} x^3y^2 dx dy, \quad D = [0,1] \times [0,1]
\end{align}
$$

上記は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} x^3y^2 dx dy &= \int_{0}^{1} x^3 dx \cdot \int_{0}^{1} y^2 dy \\
&= \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_{0}^{1} \cdot \left[ \frac{1}{3} y^3 \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}
\end{align}
$$

基本例題$127.(2)$

$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} \sin{x}\cos{y} dx dy, \quad D = \left[ 0,\frac{\pi}{3} \right] \times \left[ 0,\frac{\pi}{6} \right]
\end{align}
$$

上記は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} \sin{x}\cos{y} dx dy &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin{x} dx \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos{y} dy \\
&= \left[ -\cos{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cdot \left[ \sin{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \\
&= -\left( \frac{1}{2} – 1 \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\end{align}
$$

基本例題$127.(3)$

テイラー展開などの漸近展開(asymptotic expansion)はある点を中心とする関数の動きを多項式で近似する式であり、極限値の計算にも適用することができます。当記事では漸近展開を用いた極限値の計算に関して概要と具体例に関して取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$3$章「微分($1$変数)」を主に参考にしました。

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漸近展開を用いた極限値の計算の概要

漸近展開

下記などで取り扱った。

基本的には「漸近展開」では「ある点における関数の動きを多項式で近似する」と理解しておくと良い。

漸近展開を用いた極限値の計算

「漸近展開に出てきた始めの項」に着目することで不定形の極限値を導出できる場合が多い。

漸近展開を用いた極限値の計算の具体例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$066.(1)$

$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos{x})\sin{x}}{x-\sin{x}} \quad (1)
\end{align}
$$

上記の極限値を求めるにあたって漸近展開を用いる。$x=0$を中心とする$\sin{x}$の$1$次、$3$次の漸近展開と$\cos{x}$の$2$次の漸近展開はそれぞれ下記のように行える。
$$
\large
\begin{align}
\sin{x} &= x + o(x) \\
\cos{x} &= 1 – \frac{x^2}{2} + o(x^2) \\
\sin{x} &= x – \frac{x^3}{6} + o(x^3)
\end{align}
$$

上記を元に分母に$\displaystyle \sin{x} = x – \frac{x^3}{6} + o(x^3)$、分子に$\displaystyle \sin{x} = x + o(x), \cos{x} = 1 – \frac{x^2}{2} + o(x^2)$を代入すると$(1)$式は下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos{x})\sin{x}}{x-\sin{x}} &= \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle \left[ 1 – \left(1 – \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) \right](x + o(x))}{\displaystyle x-\left(x – \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle \left(\frac{x^2}{2} – o(x^2)\right)(x + o(x))}{\displaystyle \frac{x^3}{6} – o(x^3)} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle \left(\frac{1}{2} – \frac{o(x^2)}{2}\right)\left(1 + \frac{o(x)}{x}\right)}{\displaystyle \frac{1}{6} – \frac{o(x^3)}{x^3}} \\
&= \frac{\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 1}{\displaystyle \frac{1}{6}} \\
&= \frac{6}{2} = 3
\end{align}
$$

基本例題$066.(2)$

$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^2} \quad (2)
\end{align}
$$

上記の極限値を求めるにあたって漸近展開を用いる。$x=0$を中心とする$e^x$の$2$次の漸近展開は下記のように行える。
$$
\large
\begin{align}
e^{x} &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\end{align}
$$

上記を$(2)$式に代入することで下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) – 1 – x}{x^2} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle \frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} \\
&= \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} + \frac{o(x^2)}{x^2} \right) = \frac{1}{2}
\end{align}
$$

基本例題$067$

ロピタルの定理(l’Hopital’s rule)は極限の不定形$\displaystyle \frac{0}{0}$に対して微分法を用いることで導出を行う手法です。当記事ではロピタルの定理の概要と具体的な利用例に関して確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$3$章「微分($1$変数)」を主に参考にしました。

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ロピタルの定理の概要

$a$を含む閉区間$I$で定義された関数$f(x), g(x)$が微分可能で下記の条件が成立すると仮定する。

$[1] \quad$ $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x)$
$[2] \quad$ $x \neq a$である$I$内の全ての点で$g'(x) \neq 0$
$[3] \quad$ 極限$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$が存在する

上記が成り立つとき、極限$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$も存在し、$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$が成立し、ロピタルの定理という。

ロピタルの定理の具体例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$057.(1)$

$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos{x})\sin{x}}{x-\sin{x}}
\end{align}
$$

上記に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} (1-\cos{x})\sin{x} &= (1-1) \cdot 0 = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} (x-\sin{x}) &= 0-0 = 0 \quad [1] \\
(x-\sin{x})’ &= 1-\cos{x} \neq 0, \quad 0 < |x| < \pi \quad [2] \\
((1-\cos{x})\sin{x})’ &= \sin^{2}{x}-\cos^{2}{x} \quad [3] \\
(x-\sin{x})’ &= 1-\cos{x} \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{((1-\cos{x})\sin{x})’}{(x-\sin{x})’} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2}{x}+\cos{x}-\cos^{2}{x}}{1-\cos{x}} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}} \quad (1)
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} (\cos{x}-\cos{2x}) &= 1-1 = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} (1-\cos{x}) &= 1-1 = 0 \quad [1] \\
(1-\cos{x})’ &= \sin{x} \neq 0, \quad 0 < |x| < \pi \quad [2] \\
(\cos{x}-\cos{2x})’ &= -\sin{x} + 2 \sin{2x} \quad [3] \\
(1-\cos{x})’ &= \sin{x} \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{(\cos{x}-\cos{2x})’}{((1-\cos{x})’} &= \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin{2x} – \sin{x}}{\sin{x}} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{4 \sin{x}\cos{x} – \sin{x}}{\sin{x}} \\
&= \lim_{x \to 0} (4\cos{x} – 1) = 3
\end{align}
$$

よってロピタルの定理より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}} &= \lim_{x \to 0} \frac{(\cos{x}-\cos{2x})’}{((1-\cos{x})’} \\
&= 3 \quad (2)
\end{align}
$$

$(1), (2)$より、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos{x})\sin{x}}{x-\sin{x}} = 3$が成り立つ。

基本例題$057.(2)$

$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^2}
\end{align}
$$

上記に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} f(x) &= \lim_{x \to 0} (e^{x}-1-x) = (1-1-0) \cdot 0 = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} g(x) &= \lim_{x \to 0} (x^2) = 0^2 \cdot 0 = 0 \quad [1] \\
g'(x) &= (x^2)’ = 2x \neq 0 \quad \mathrm{if} \,\, x \neq 0 \quad [2] \\
f'(x) &= (e^{x}-1-x)’ = e^{x} – 1 \quad [3] \\
g'(x) &= (x^2)’ = 2x \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{2x} \quad (3)
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{2x}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} f(x) &= \lim_{x \to 0} (e^{x}-1-x) = (1-1-0) \cdot 0 = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} g(x) &= \lim_{x \to 0} (x^2) = 0^2 \cdot 0 = 0 \quad [1] \\
g'(x) &= (x^2)’ = 2x \neq 0 \quad \mathrm{if} \,\, x \neq 0 \quad [2] \\
f^{”}(x) &= (e^{x}-1)’ = e^{x} \quad [3] \\
g^{”}(x) &= (2x)’ = 2 \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{f^{”}(x)}{g^{”}(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{2} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
$$

よってロピタルの定理より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{f^{”}(x)}{g^{”}(x)} \\
&= \frac{1}{2} \quad (4)
\end{align}
$$

$(3), (4)$より、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{2}$が成り立つ。

基本例題$057.(3)$

$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh{x}-x}{\sin{x}-x}
\end{align}
$$

上記に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} f(x) &= \lim_{x \to 0} (\sinh{x}-x) = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} g(x) &= \lim_{x \to 0} \sin{x}-x = 0 \quad [1] \\
g'(x) &= (\sin{x}-x)’ = \cos{x}-1 \neq 0 \quad \mathrm{if} \,\, 0 < x < \frac{\pi}{2} \quad [2],[3] \\
f'(x) &= (\sinh{x}-x)’ = \cosh{x}-1 \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cosh{x}-1}{\cos{x}-1} \quad (5)
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosh{x}-1}{\cos{x}-1}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} f'(x) &= \lim_{x \to 0} (\cosh{x}-1) = (1-1) = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} g'(x) &= \lim_{x \to 0} (\cos{x}-1) = (1-1) = 0 \quad [1] \\
g^{”}(x) &= (\cos{x}-1)’ = -\sin{x} \neq 0 \quad \mathrm{if} \,\, 0 < x < \frac{\pi}{2} \quad [2],[3] \\
f^{”}(x) &= (\cosh{x}-1)’ = \sinh{x} \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{f^{”}(x)}{g^{”}(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sinh{x}}{-\sin{x}} \quad (6)
\end{align}
$$

上記の$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f^{”}(x)}{g^{”}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh{x}}{-\sin{x}}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} f^{”}(x) &= \lim_{x \to 0} \sinh{x} = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} g^{”}(x) &= \lim_{x \to 0} (-\sin{x}) 0 \quad [1] \\
g^{(3)}(x) &= (-\sin{x})’ = \cos{x} \neq 0 \quad \mathrm{if} \,\, 0 < x < \frac{\pi}{2} \quad [2],[3] \\
f^{(3)}(x) &= (\sinh{x})’ = \cosh{x} \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{f^{(3)}(x)}{g^{(3)}(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cosh{x}}{-\cos{x}} \\
&= \frac{1}{-1} = -1
\end{align}
$$

よってロピタルの定理より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{f^{”}(x)}{g^{”}(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{f^{(3)}(x)}{g^{(3)}(x)} \\
&= -1 \quad (7)
\end{align}
$$

$(5), (6), (7)$より、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = -1$が成り立つ。

基本例題$058$

基本例題$061$

微分可能性を考えるにあたって、$C^{n}$級・$C^{\infty}$級関数のような表記がよく用いられます。当記事では「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の演習を元に$C^{n}$級・$C^{\infty}$級関数の例に基づいて具体的に微分可能性に関する確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$3$章「微分($1$変数)」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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$C^{n}$級・$C^{\infty}$級関数と微分可能性

$C^{n}$級・$C^{\infty}$級関数$f(x)$は下記のように定義される。

$[1] \quad$ 関数$f(x)$が閉区間$I$で$n$回微分可能であり、$f^{(n)}(x)$が$I$で連続であるとき、$f(x)$は$C^{n}$級の関数である。
$[2] \quad$ 関数$f(x)$が閉区間$I$で何回でも微分可能であり、$f^{(n)}(x)$が$I$で連続であるとき、$f(x)$は$C^{\infty}$級の関数である。

$C^{n}$級・$C^{\infty}$級関数の具体例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$050$

有理関数$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$が$g(x) \neq 0$が成立するの全ての実数$x$に関して$C^{\infty}$であることを示す。

$\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$、$l(x)$を任意の多項式関数とおくとき、$\displaystyle h^{(n)}(x) = \frac{f(x)}{g(x)^{2^{n}}}$のように表せることを以下、数学的帰納法を用いて示す。

$[1] \quad n=1$
$$
\large
\begin{align}
h^{(1)}(x) &= \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ \\
&= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} \\
&= \frac{l(x)}{g(x)^{2^{1}}}
\end{align}
$$

$[2] \quad n=k$で$\displaystyle h^{(n)}(x) = \frac{f(x)}{g(x)^{2^{n}}}$が成立すると仮定した場合の$h^{(k+1)}(x)$
$$
\large
\begin{align}
h^{(k+1)}(x) &= (h^{(k)}(x))’ \\
&= \left( \frac{f(x)}{g(x)^{2^{k}}} \right)’ \\
&= \frac{f'(x)g(x)^{2^{k}} – 2^{k}f(x)g(x)^{2^{k}-1}}{(g(x)^{2^{k}})^2} \\
&= \frac{g(x)^{2^{k}-1}(f'(x)g(x) – 2^{k}f(x))}{g(x)^{2^{2k}}} \\
&= \frac{f'(x)g(x) – 2^{k}f(x)}{g(x)^{2^{k+1}}} \\
&= \frac{l(x)}{g(x)^{2^{k+1}}}
\end{align}
$$

よって、$n=k$で$\displaystyle h^{(n)}(x) = \frac{f(x)}{g(x)^{2^{n}}}$が成立すると仮定した際に$n=k+1$でも同様に成立する。

$[1],[2]$より任意の自然数$n$に関して$\displaystyle h^{(n)}(x) = \frac{f(x)}{g(x)^{2^{n}}}$が成立する。よって、有理関数$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$は$g(x) \neq 0$が成立するの全ての実数$x$に関して$C^{\infty}$である。

基本例題$051$

ベクトルの外積(outer product)は二つのベクトル$\mathbf{v},\mathbf{w}$に直交し、長さが$\mathbf{v},\mathbf{w}$が作る平行四辺形の面積に等しいベクトルを計算する考え方です。当記事ではベクトルの外積の定義と外積に関連して成り立つ式の導出に関して取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$7$章「内積」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

外積の概要

外積の定義

$\mathbb{R}^{3}$の$2$つのベクトル$\mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{3}$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{a} &= \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \\
\mathbf{b} &= \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記の$\mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{3}$に対し、外積$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{a} \times \mathbf{b} &= \left( \begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} a_3 & b_3 \\ a_1 & b_1 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array} \right| \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} a_2b_3-b_2a_3 \\ a_3b_1-b_3a_1 \\ a_1b_2-b_1a_2 \end{array} \right)
\end{align}
$$

また、外積はベクトル積といわれることもある。

外積に関連する式の証明

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$150$

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} &= \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right) \\
\mathbf{v}’ &= \left( \begin{array}{c} c’_1 \\ c’_2 \\ c’_3 \end{array} \right) \\
\mathbf{w} &= \left( \begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記のように$\mathbf{v}, \mathbf{v}’, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{3}$を定めると、以下が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} \times \mathbf{w} &= -\mathbf{w} \times \mathbf{v} \quad (a) \\
(a\mathbf{v}+b\mathbf{v}’) \times \mathbf{w} &= a\mathbf{v} \times \mathbf{w} + b \mathbf{v}’ \times \mathbf{w} \quad (b)
\end{align}
$$

上記の$(a),(b)$が成立することを以下示す。

・$(a) \quad \mathbf{v} \times \mathbf{w} = -\mathbf{w} \times \mathbf{v}$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} \times \mathbf{w} &= \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc} c_2 & d_2 \\ c_3 & d_3 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} c_3 & d_3 \\ c_1 & d_1 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} c_1 & d_1 \\ c_2 & d_2 \end{array} \right| \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} c_2d_3-d_2c_3 \\ c_3d_1-d_3c_1 \\ c_1d_2-d_1c_2 \end{array} \right) \\
&= – \left( \begin{array}{c} d_2c_3-c_2d_3 \\ d_3c_1-c_3d_1 \\ d_1c_2-c_1d_2 \end{array} \right) \\
&= – \mathbf{w} \times \mathbf{v}
\end{align}
$$

・$(a\mathbf{v}+b\mathbf{v}’) \times \mathbf{w} = a\mathbf{v} \times \mathbf{w} + b \mathbf{v}’ \times \mathbf{w}$
$$
\large
\begin{align}
(a\mathbf{v}+b\mathbf{v}’) \times \mathbf{w} &= \left( \begin{array}{c} ac_1+bc’_1 \\ ac_2+bc’_2 \\ ac_3+bc’_3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} (ac_2+bc’_2)d_3-d_2(ac_3+bc’_3) \\ (ac_3+bc’_3)d_1-d_3(ac_1+bc’_1) \\ (ac_1+bc’_1)d_2-d_1(ac_2+bc’_2) \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} (ac_2)d_3-d_2(ac_3) \\ (ac_3)d_1-d_3(ac_1) \\ (ac_1)d_2-d_1(ac_2) \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} (bc’_2)d_3-d_2(bc’_3) \\ (bc’_3)d_1-d_3(bc’_1) \\ (bc’_1)d_2-d_1(bc’_2) \end{array} \right) \\
&= a \left( \begin{array}{c} c_2d_3-d_2c_3 \\ c_3d_1-d_3c_1 \\ c_1d_2-d_1c_2 \end{array} \right) + b \left( \begin{array}{c} c’_2d_3-d_2c’_3 \\ c’_3d_1-d_3c’_1 \\ c’_1d_2-d_1c’_2 \end{array} \right) \\
&= a\mathbf{v} \times \mathbf{w} + b \mathbf{v}’ \times \mathbf{w}
\end{align}
$$

上記で示した$(a)$を交代性、$(b)$を線形性ということも合わせて抑えておくと良い。

基本例題$151$

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{e}_{1} &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \\
\mathbf{e}_{2} &= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \\
\mathbf{e}_{3} &= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記のように定めた$\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}$に対して下記のように$\mathbf{e}_{1} \times \mathbf{e}_{2}$や$\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{3}$、$\mathbf{e}_{3} \times \mathbf{e}_{1}$の計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{e}_{1} \times \mathbf{e}_{2} &= \left( \begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \mathbf{e}_{3} \\
\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{3} &= \left( \begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \mathbf{e}_{1} \\
\mathbf{e}_{3} \times \mathbf{e}_{1} &= \left( \begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) = \mathbf{e}_{2}
\end{align}
$$

ベクトル空間(Vector space)はベクトルの集合を元に定義される概念です。ベクトル空間やベクトル空間に関連する部分空間は抽象的なので、当記事ではベクトル空間・部分空間の定義に加えて「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の演習などの具体例も合わせて取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$5$章「ベクトル空間」を主に参考にしました。

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ベクトル空間の概要

ベクトル空間の定義

集合$V$に関して下記が成立するとき、$V$をベクトル空間という。

$[1]$ $V$の任意の$2$つの要素$\mathbf{v}, \mathbf{w}$に関して要素$\mathbf{v}+\mathbf{w}$が$V$内に定義される。 → 和
$[2]$ $V$の任意の要素$\mathbf{v}$と$K$上の任意の要素$c$に対して要素$c \mathbf{v}$が$V$内に定義される。なお、$K=\mathbb{R}$の場合は実ベクトル空間、$K=\mathbb{C}$の場合は複素ベクトル空間という。 → スカラー倍
$[3]$ $[1]$と$[2]$の演算に関して下記の$[a]$〜$[h]$の演算規則が成立する。
$\quad [a]$ $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$
$\quad [b]$ 任意の$\mathbf{v}$に対し、$\mathbf{v}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{v}=\mathbf{0}$となる$\mathbf{0}$が存在する。
$\quad [c]$ $\mathbf{v}$に対し、$\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{w}+\mathbf{v}=\mathbf{0}$となる$\mathbf{w}$が存在する。
$\quad [d]$ $\mathbf{v}+\mathbf{w} = \mathbf{w}+\mathbf{v}$
$\quad [e]$ $a(b \mathbf{v}) = (ab) \mathbf{v}$
$\quad [f]$ $(a+b)\mathbf{v} = a\mathbf{v}+b\mathbf{v}$
$\quad [g]$ $a(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = a\mathbf{v}+a\mathbf{w}$
$\quad [h]$ $1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}$

定義をまとめるにあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の基本例題$074$を元に取りまとめた。

部分空間の定義

ベクトル空間$V$の部分集合$W$に関して下記が成り立つとき、$W$は$K$上の$V$の部分空間であるという。

$[1]$ $\mathbf{0} \in W$
$[2]$ $\mathbf{v} \in W, \mathbf{w} \in W$ならば$\mathbf{v}+\mathbf{w} \in W$
$[3]$ $\mathbf{v} \in W, c \in K$ならば$c \mathbf{v} \in W$

上記の$K$は実数集合$\mathbb{R}$または複素数の集合$\mathbb{C}$で表される。定義に関しては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の基本例題$075$を元に取りまとめた。

ベクトル空間の使用例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$074$

$$
\large
\begin{align}
& \mathrm{(S2)} \quad \mathbf{v} \in W, \mathbf{w} \in W \implies \mathbf{v}+\mathbf{w} \in W \\
& \mathrm{(S3)} \quad \mathbf{v} \in W, c \in K \implies c \mathbf{v} \in W \\
& \mathrm{(S4)} \quad (\mathbf{v} \in W, \mathbf{w} \in W) \cap (a \in K, b \in K) \implies a \mathbf{v} + b \mathbf{w} \in W
\end{align}
$$

上記のように$\mathrm{(S2)},\mathrm{(S3)},\mathrm{(S4)}$を定めるとき、「$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)} \iff \mathrm{(S4)}$」が成立することを示す。以下では、「$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)} \implies \mathrm{(S4)}$」と「$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)} \impliedby \mathrm{(S4)}$」に分けて示す。

・$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)} \implies \mathrm{(S4)}$
$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)}$を仮定するとき$\mathrm{(S3)}$より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
a \mathbf{v} \in W, \quad b \mathbf{w} \in W
\end{align}
$$

上記に対して$\mathrm{(S2)}$を適用することで$a \mathbf{v} + b \mathbf{w} \in W$が成立する。よって$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)} \implies \mathrm{(S4)}$が成り立つ。

・$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)} \impliedby \mathrm{(S4)}$
$a \mathbf{v} + b \mathbf{w} \in W$が成り立つと仮定するとき、$a=b=1$を代入すると$\mathrm{(S2)}$、$a=c,b=0$を代入すると$\mathrm{(S3)}$に対応する。よって$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)} \impliedby \mathrm{(S4)}$が成立する。

よって、$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)} \implies \mathrm{(S4)}$かつ$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)} \impliedby \mathrm{(S4)}$が成立するので「$\mathrm{(S2)} \cap \mathrm{(S3)} \iff \mathrm{(S4)}$」が成り立つ。

基本例題$075$

基本例題$076$

収束半径(radius of convergence)は多項式の形式で表されるべき級数に対して、級数が収束する際の$|x|$の取りうる値の上限を表す概念です。当記事では収束半径の定義を確認したのちに、具体的な理解ができるように具体例を取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$8$章「級数」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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収束半径の概要

収束半径の定義

$$
\large
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}
\end{align}
$$

上記の整級数が$x=u$で収束するときの$|u|$の上限を収束半径$r$と定める。整級数が収束するときの$x$の定義域と考えると直感的には理解しやすい。統計学では収束半径をモーメント母関数と合わせて抑えておくと良い。

収束半径の計算

次節で取り扱う「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の基本例題$154$のように、コーシーの収束判定やダランベールの収束判定から収束半径の計算を行える。

収束半径の使用例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$154$

$$
\large
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}
\end{align}
$$

上記の整級数の収束半径を$r$とおく。

・$(1)$
極限値$\displaystyle l = \lim_{n \to \infty} {}^{n} \sqrt{|a_{n}|}$が存在するとき、任意の実数$x$に対して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} {}^{n} \sqrt{|a_{n} x^{n}|} &= \lim_{n \to \infty} {}^{n} \sqrt{|a_{n}|}|x| \\
&= l |x|
\end{align}
$$

上記に対してコーシーの収束判定を用いると、$l|x|<1$の時級数は収束し、$l|x|>1$の時級数は発散する。すなわち、$\displaystyle |x| < \frac{1}{l}$のとき級数は収束するので、$|x|$の上限である収束半径$r$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
r = \frac{1}{l}
\end{align}
$$

・$(2)$
極限値$\displaystyle l = \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|$が存在するとき、任意の実数$x$に対して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_{n} x^{n}} \right| &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| |x| \\
&= l |x|
\end{align}
$$

上記に対してダランベールの収束判定を用いると、$l|x|<1$の時級数は収束し、$l|x|>1$の時級数は発散する。すなわち、$\displaystyle |x| < \frac{1}{l}$のとき級数は収束するので、$|x|$の上限である収束半径$r$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
r = \frac{1}{l}
\end{align}
$$

基本例題$155$

・$(1)$
$$
\large
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}
\end{align}
$$

上記の整級数に対して$\displaystyle l = \lim_{n \to \infty} {}^{n} \sqrt{|a_{n}|}$とおくと、$l=1$である。よって収束半径は$r=1/l=1$である。

・$(2)$
$$
\large
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{p}}
\end{align}
$$

上記の整級数に対して$\displaystyle l = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|$とおくと、$l$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
l &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n^{p}}{(n+1)^{p}} \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{(1+1/n)^{p}} \right| = 1
\end{align}
$$

よって収束半径は$\displaystyle r = \frac{1}{l} = 1$である。

・$(3)$
$$
\large
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} m^{n} x^{n}
\end{align}
$$

上記の整級数に対して$\displaystyle l = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|$とおくと、$l$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
l &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{m^{n+1}}{m^{n}} \right| \\
&= m
\end{align}
$$

よって収束半径は$\displaystyle r = \frac{1}{l} = \frac{1}{m}$である。

基本例題$156$