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当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$8$の「不定積分」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat

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本章のまとめ

演習問題解答

問題$8.1$

・$[1]$
下記のように不定積分を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\int (\sqrt{x} + 2x^3) dx &= \int (x^{\frac{1}{2}} + 2x^3) dx \\
&= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{4}x^4 + C \\
&= \frac{2}{3} x\sqrt{x} + \frac{1}{2}x^4 + C
\end{align}
$$

・$[2]$
下記のように不定積分を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\int e^{4x} dx &= \frac{1}{4} \int 4e^{4x} dx \\
&= \frac{1}{4} \int (e^{4x})’ dx \\
&= \frac{1}{4} e^{4x} + C
\end{align}
$$

問題$8.2$

・$[1]$
部分積分法を用いることで下記のように不定積分を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\int x \log{x} dx &= \frac{1}{2}x^{2} \log{x} – \frac{1}{2} \int x^{2} \cdot \frac{1}{x} dx \\
&= \frac{1}{2}x^{2} \log{x} – \frac{1}{2} \int x dx \\
&= \frac{1}{2}x^{2} \log{x} – \frac{1}{4}x^2 + C
\end{align}
$$

・$[2]$
$((x^2+1)^{6})’=12x(x^2+1)$であることを用いて、下記のように不定積分を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\int x(x^2+1)^{5} dx &= \frac{1}{12} \int 12x(x^2+1)^{5} dx \\
&= \frac{1}{12} \int ((x^2+1)^{6})’ dx \\
&= \frac{1}{12}(x^2+1)^{6} + C
\end{align}
$$

期待値や分散のように確率分布の定義域における積分を考える場合、$\infty$が積分区間に出てくる場合があります。この取り扱いを数学的に考えるにあたっては、広義積分(improper integral)の定義を抑えておくと良いので、当記事では広義積分の収束判定と発散について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$4$章「積分($1$変数)」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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広義積分の収束判定と発散

半区間$[a,b)$上の連続関数$f(x)$に関して下記の極限値が存在すると仮定する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{t \to b-0} \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) dx
\end{align}
$$

このとき広義積分$\int_{a}^{b} f(x) dx$が収束するという。

広義積分の収束判定と発散の例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$081$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\int_{a}^{\infty} x^{k} dx &= -\frac{a^{k+1}}{k+1}, \quad k<-1 \\
&= \infty, \qquad k \geq -1
\end{align}
$$

以下、上記を示す。

i) $k \neq -1$のとき
広義積分$\displaystyle \int_{a}^{\infty} x^{k} dx$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{a}^{\infty} x^{k} dx &= \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} x^{k} dx \\
&= \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{1}{k+1}x^{k+1} \right]_{a}^{t} \\
&= \lim_{t \to \infty} \frac{1}{k+1} \left[ t^{k+1} – a^{k+1} \right]
\end{align}
$$

上記は$k<-1$のとき$\displaystyle -\frac{a^{k+1}}{k+1}$に収束し、$k>-1$のとき$\infty$に発散する。

ⅱ) $k=-1$のとき
広義積分$\displaystyle \int_{a}^{\infty} x^{k} dx$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{a}^{\infty} x^{k} dx &= \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} x^{-1} dx \\
&= \lim_{t \to \infty} \left[ \log{x} \right]_{a}^{t} \\
&= \lim_{t \to \infty} (\log{t} – \log{a}) = \infty
\end{align}
$$

i)、ⅱ)より、大元の式は成立する。

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{a} e^{kx} dx &= \frac{1}{k}e^{ka}, \quad k>0 \\
&= \infty, \qquad k=0 \\
&= -\infty, \qquad k<0
\end{align}
$$

以下、上記を示す。

i) $k \neq 0$のとき
広義積分$\displaystyle \int_{-\infty}^{a} e^{kx} dx$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{a} e^{kx} dx &= \lim_{s \to \infty} \int_{s}^{a} e^{kx} dx \\
&= \lim_{s \to \infty} \left[ \frac{1}{k} e^{kx} \right]_{s}^{a} \\
&= \lim_{s \to \infty} \frac{e^{ka} – e^{ks}}{k}
\end{align}
$$

上記は$k>0$のとき$\displaystyle \frac{e^{ka}}{k}$に収束し、$k<0$のとき$-\infty$に発散する。

ⅱ) $k=0$のとき
広義積分$\displaystyle \int_{-\infty}^{a} e^{kx} dx$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{a} e^{kx} dx$ &= \lim_{s \to -\infty} \int_{s}^{a} e^{0} dx \\
&= \lim_{s \to -\infty} \left[ x \right]_{s}^{a} \\
&= \lim_{s \to -\infty} (a-s) = \infty
\end{align}
$$

i)、ⅱ)より、大元の式は成立する。

基本例題$083$

期待値や分散のように確率分布の定義域における積分を考える場合、$\infty$が積分区間に出てくる場合があります。この取り扱いを数学的に考えるにあたっては、広義積分(improper integral)の定義を抑えておくと良いので、当記事では広義積分について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$4$章「積分($1$変数)」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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広義積分まとめ

半区間$(a,b]$上の連続関数$f(x)$の取り扱い

半区間$(a,b]$上の連続関数$f(x)$に関して下記の極限値が存在すると仮定する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{t \to a+0} \int_{t}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) dx
\end{align}
$$

このとき広義積分$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx$は収束し、下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{t \to a+0} \int_{t}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) dx
\end{align}
$$

区間$(\infty,b]$上の連続関数$f(x)$の取り扱い

区間$(\infty,b]$上の連続関数$f(x)$に関して下記の極限値が存在すると仮定する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{s \to -\infty} \int_{s}^{b} f(x) dx
\end{align}
$$

このとき広義積分$\displaystyle \int_{\infty}^{b} f(x) dx$は収束し、下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{s \to -\infty} \int_{s}^{b} f(x) dx
\end{align}
$$

広義積分の計算

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$079$

・$[1]$
下記のように値を求められる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx &= \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{1+\varepsilon}^{2} \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ 2 \sqrt{x-1} \right]_{1+\varepsilon}^{2} \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} 2(\sqrt{2-1}-\sqrt{\cancel{1}+\varepsilon-\cancel{1}}) \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} 2(1-\sqrt{\varepsilon}) \\
&= 2(1-0) = 2
\end{align}
$$

・$[2]$
下記のように値を求められる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^2} dx &= \lim_{s \to -\infty} \int_{s}^{-1} \frac{1}{x^2} dx \\
&= \lim_{s \to -\infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{s}^{-1} \\
&= \lim_{s \to -\infty} \left[ 1 + \frac{1}{s} \right] \\
&= 1+0 \\
&= 1
\end{align}
$$

・$[3]$
下記のように値を求めることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} \frac{\log{x}}{x} dx &= \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{\log{x}}{x} dx \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ \frac{1}{2}(\log{x})^{2} \right]_{\varepsilon}^{1} \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \frac{1}{2} \left[ 0 – (\log{\epsilon})^2 \right] = -\infty
\end{align}
$$

基本例題$080$

下記のように広義積分の値を求めることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{1}^{3} (1-x)^{-2} dx &= \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{1+\varepsilon}^{3} (1-x)^{-2} dx \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ (1-x)^{-1} \right]_{1+\varepsilon}^{3} \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ (1-3)^{-1} – (\cancel{1}-(\cancel{1}+\varepsilon))^{-1} \right] \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ -2^{-1} + \varepsilon^{-1} \right] \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ -\frac{1}{2} + \frac{1}{\varepsilon} \right] \\
&= \infty
\end{align}
$$

基本例題$082$

下記の式変形により、広義積分の値が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx &= \lim_{s \to -\infty} \int_{s}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1+x^2} dx \\
&= \lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} \frac{1}{1+x^2} dx \\
&= \lim_{u \to \frac{\pi}{2}} 2 \int_{0}^{u} \cos^{2}{\theta} \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\theta}} d \theta \\
&= \lim_{u \to \frac{\pi}{2}} 2 \left[ \theta \right]_{0}^{u} \\
&= \lim_{u \to \frac{\pi}{2}} 2u \\
&= \pi
\end{align}
$$

途中計算では$x=\tan{\theta}$とおいて置換積分を行なった。

複素数は$a+bi$のように実部(Real part)と虚部(Imaginary part)によって表される数であり、統計学に限らず様々な応用があります。当記事では複素数の基本事項を学べるように複素数の定義や分数や三角関数の基本演算について取り扱いを行いました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

複素数の定義

まずは方程式 $x^2+1=0$ を考えます。この方程式は実数解はもちませんが、$x=\pm \sqrt{-1}$ という解を定義すれば、解があると言えます。ここで、$$\sqrt{-1}=i$$ と定義し、これを虚数単位と呼びます。

複素数とは $2$ つの実数 $a, b$ を用いて、$a+bi$ と表せるもののことです。$a$を実部(Real part)、$b$を虚部(Imaginary part)と呼びます。ある複素数 $z$ に対して、実部と虚部をそれぞれ $Re(z), Im(z)$ と表します。特に、$Re(z)=0$のものを純虚数と呼びます。複素数に対する計算の規則について見ていきましょう。以下では、$c,d,k \in \mathbb{R}$ とします。

$(1)\, (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

$(2)\, (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

$(3)\, k(a+bi)=ka+kbi$

$(4)\, (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac-bd+(ad+bc)i$

$(3)$において、$k=0, a=0, b=1$ とすると、$0i=0$が得られます。 実部同士、虚部同士で計算する点に注意です。また、$a+bi=0 \Rightarrow a=0 \land b=0 $ とします。

複素数が分母にあるとき

例えば、複素数 $a_i, b_i \in \mathbb{R} に対し z_n = a_n+b_ni \, (n=1,2,3)$ のとき、$$z_1 + \frac{z_2}{z_3}=a_1+b_1i+\frac{a_2+b_2i}{a_3+b_3i}$$ は分母に虚数単位があるため、このままでは計算できません。

対処するためには、$\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}}$ のような数の分母の有理化と似た操作を行います。展開公式 $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ を使うというものです。ただし、今は虚数単位があるため、$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$となることに要注意です。

$$
\large
\begin{align}
\frac{a_2+b_2i}{a_3+b_3i} &= \frac{(a_2+b_2i)(a_3-b_3i)}{(a_3+b_3i)(a_3-b_3i)} \\
&= \frac{(a_2+b_2i)(a_3-b_3i)}{a^2_3+b^2_3} \\
&= \frac{a_2a_3-b_2b_3+(a_3b_2-a_2b_3)i}{a^2_3+b^2_3}
\end{align}
$$

このように分母の虚数単位を取り除くことができます。

極座標表示

複素数 $z=x+yi$ を極座標によって表現することを考えます。極座標とは、以下の変換です。
$y=r\sin{\theta}, r>0 , \theta \in \mathbb{R}$
これにより、$z=x+yi=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$と表すことができます。

では、$z_1=r_1(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1}), z_2=r_2(\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})$として、$z_1z_2$を計算してみましょう。
$$
\large
\begin{align}
z_1z_2 &= r_1r_2(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1})(\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2}) \\
&= r_1r_2(\cos{\theta_1} \cos{\theta_2} – \sin{\theta_1} \sin{\theta_2} + i\sin{\theta_1} \cos{\theta_2} + i \cos{\theta_1} \sin{\theta_2}) \\
&= r_1r_2(\cos{(\theta_1+\theta_2)}+i\sin{(\theta_1+\theta_2)})
\end{align}
$$

途中で三角関数の加法定理を用いました。極座標表示では綺麗な形で積を書けます。

また、$\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos{(\theta_1-\theta_2)}+i\sin{(\theta_1-\theta_2)})$が成り立ちます。

当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$6$の「関数の極値」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat

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本章のまとめ

演習問題解答

問題$6.1$

$$
\large
\begin{align}
f(\lambda) = \frac{1}{k!} \lambda^{k} e^{-\lambda}
\end{align}
$$

上記の$f(\lambda)$を$\lambda$で微分すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\partial f(\lambda)}{\partial \lambda} &= \frac{1}{k!} \left( k \lambda^{k-1} e^{-\lambda} \right) \\
&= \frac{\lambda^{k-1} e^{-\lambda} (k – \lambda)}{k!}
\end{align}
$$

$\lambda>0$であるので、$k>0$の場合は$f(\lambda)$は$\lambda=k$のとき、以下の極値をとる。
$$
\large
\begin{align}
f(k) = \frac{1}{k!} k^{k} e^{-k}
\end{align}
$$

また、$k=0$の場合は$f(\lambda)=e^{-\lambda}$より、極値が存在しない。

次に$\log{f(\lambda)}$の極値を考えるにあたって、$\log{f(\lambda)}$を$\lambda$で微分を行うと下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\partial \log{f(\lambda)}}{\partial \lambda} &= \frac{\partial}{\partial \lambda} (k \log{\lambda} – \lambda – \log{k!}) \\
&= \frac{k}{\lambda} – 1
\end{align}
$$

$\lambda>0$であるので、$k>0$の場合は$f(\lambda)$は$\lambda=k$のとき、以下の極値をとる。
$$
\large
\begin{align}
\log{f(k)} = k \log{k} – k – \log{k!}
\end{align}
$$

また、$k=0$の場合は$\log{f(k)}=\log{e^{-\lambda}}=-\lambda$より、極値が存在しない。

問題$6.2$

$$
\large
\begin{align}
f(\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}
\end{align}
$$

上記の$f(\lambda)$を$\lambda$で微分すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\partial f(\lambda)}{\partial \lambda} &= e^{-\lambda x} + \lambda e^{-\lambda x} \times (-x) \\
&= (1 – \lambda x) e^{-\lambda x}
\end{align}
$$

$\lambda>0, x \geq 0, e^{-\lambda x}>0$であるので、$x>0$の場合に$\displaystyle \lambda=\frac{1}{x}$のとき以下の極値をとる。
$$
\large
\begin{align}
f \left( \frac{1}{x} \right) &= \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{x} \cdot x} \\
&= \frac{1}{e x}
\end{align}
$$

また、$x=0$の場合は$f(\lambda)=\lambda$より、極値が存在しない。

次に$\log{f(\lambda)}$の極値を考えるにあたって、$\log{f(\lambda)}$を$\lambda$で微分を行うと下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\partial \log{f(\lambda)}}{\partial \lambda} &= \frac{\partial}{\partial \lambda} (\log{\lambda} – \lambda x) \\
&= \frac{1}{\lambda} – x
\end{align}
$$

$\lambda>0, x \geq 0$であるので、$x>0$の場合に$\displaystyle \lambda=\frac{1}{x}$のとき以下の極値をとる。
$$
\large
\begin{align}
\log{f \left( \frac{1}{x} \right)} &= \log{\frac{1}{x}} – \frac{1}{x} \cdot x \\
&= -\log{x} – 1
\end{align}
$$

また、$x=0$の場合は$f(\lambda)=\log{\lambda}$より、極値が存在しない。