「統計学実践ワークブック」 演習問題etc Ch.27 「時系列解析」

当記事は「統計学実践ワークブック(学術図書出版社)」の読解サポートにあたってChapter.27の「時系列解析」に関して演習問題を中心に解説を行います。AR過程、MA過程、ARMA過程や、ホワイトノイズ、コレログラムなど、よく用いられる内容が多いので、抑えておくと良いと思われました。

本章のまとめ

下記などで取り扱いを行った。
https://www.hello-statisticians.com/python/stat_program3.html

演習問題解説

問27.1

$[1]$
対応は下記のようになる。

a) -> 0.7
b) -> 0
c) -> 1
d) -> -0.8

$\phi_1$の値が大きくなるにつれて前後の値が相関することから、グラフの動きがなだらかになる。

また、$AR(1)$過程$y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + u_t$の期待値が$\displaystyle E[Y_t]=\frac{c}{1-\phi_1}$となることから、$\phi_1 \neq 0$のときは$c=1-\phi_1$より$\displaystyle E[Y_t]=2$が成立することも抑えておくとよい。

$[2]$

誤差項に自己相関がある場合も、最小二乗法は不偏推定量であるが、有効な推定量ではない。また、正の自己相関がある場合、$DW$比は$0$に近い値を取る。

問27.2

$h=0,1,2$次の自己共分散は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\gamma_0 &= E[(Y_t-E[Y_t])^2] = E[(Y_t)^2] \\
&= E[(U_t + \theta_1 U_{t-1} \theta_2 U_{t-2})^2] \\
&= E[U_t^{2}] + \theta_1^2 E[U_{t-1}^{2}] + \theta_2^2 E[U_{t-2}^2] = (1+\theta_1^2+\theta_2^2)\sigma^2 \\
\gamma_1 &= E[(Y_t-E[Y_t])(Y_{t-1}-E[Y_{t-1}])] = E[Y_tY_{t-1}] \\
&= E[(U_t + \theta_1 U_{t-1} + \theta_2 U_{t-2})(U_{t-1} + \theta_1 U_{t-2} + \theta_2 U_{t-3})] \\
&= \theta_1 E[U_{t-1}^{2}] + \theta_1 \theta_2 E[U_{t-2}^2] = (\theta_1 + \theta_1 \theta_2)\sigma^2 \\
\gamma_2 &= E[(Y_t-E[Y_t])(Y_{t-2}-E[Y_{t-2}])] = E[Y_tY_{t-2}] \\
&= E[(U_t + \theta_1 U_{t-1} + \theta_2 U_{t-2})(U_{t-2} + \theta_1 U_{t-3} + \theta_2 U_{t-4})] \\
&= \theta_2 E[U_{t-2}^{2}] = \theta_2 \sigma^2
\end{align}
$$

$h>2$次の自己共分散は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\gamma_h &= E[(Y_t-E[Y_t])(Y_{t-h}-E[Y_{t-h}])] = E[Y_tY_{t-h}] \\
&= E[(U_t + \theta_1 U_{t-1} + \theta_2 U_{t-2})(U_{t-h} + \theta_1 U_{t-h-1} + \theta_2 U_{t-h-2})] \\
&= 0
\end{align}
$$

問27.3

$[1]$
$AR(p)$過程の$p+1$次以上の偏自己相関係数は全て$0$となるが、ここでは$3$次以上の標本偏自己相関係数に$0$に近い値が確認される。よって、$AR(2)$を元に考えると良いことがわかる。

$[2]$
$DW$比の近似値は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
DW & \simeq 2(1-\hat{\gamma}_1) \\
&= 2(1-0.691) = 0.618
\end{align}
$$

問27.4

AICが最も小さいものを考えれば良いので$AR(3)$を選べば良い。

参考

・準1級関連まとめ
https://www.hello-statisticians.com/toukeikentei-semi1

・Pythonを用いた時系列解析のプログラミング
https://www.hello-statisticians.com/python/stat_program3.html