期待値や分散のように確率分布の定義域における積分を考える場合、$\infty$が積分区間に出てくる場合があります。この取り扱いを数学的に考えるにあたっては、広義積分(improper integral)の定義を抑えておくと良いので、当記事では広義積分の収束判定と発散について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$4$章「積分($1$変数)」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
広義積分の収束判定と発散
半区間$[a,b)$上の連続関数$f(x)$に関して下記の極限値が存在すると仮定する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{t \to b-0} \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) dx
\end{align}
$$
このとき広義積分$\int_{a}^{b} f(x) dx$が収束するという。
広義積分の収束判定と発散の例の確認
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$081$
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\int_{a}^{\infty} x^{k} dx &= -\frac{a^{k+1}}{k+1}, \quad k<-1 \\
&= \infty, \qquad k \geq -1
\end{align}
$$
以下、上記を示す。
i) $k \neq -1$のとき
広義積分$\displaystyle \int_{a}^{\infty} x^{k} dx$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{a}^{\infty} x^{k} dx &= \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} x^{k} dx \\
&= \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{1}{k+1}x^{k+1} \right]_{a}^{t} \\
&= \lim_{t \to \infty} \frac{1}{k+1} \left[ t^{k+1} – a^{k+1} \right]
\end{align}
$$
上記は$k<-1$のとき$\displaystyle -\frac{a^{k+1}}{k+1}$に収束し、$k>-1$のとき$\infty$に発散する。
ⅱ) $k=-1$のとき
広義積分$\displaystyle \int_{a}^{\infty} x^{k} dx$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{a}^{\infty} x^{k} dx &= \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} x^{-1} dx \\
&= \lim_{t \to \infty} \left[ \log{x} \right]_{a}^{t} \\
&= \lim_{t \to \infty} (\log{t} – \log{a}) = \infty
\end{align}
$$
i)、ⅱ)より、大元の式は成立する。
・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{a} e^{kx} dx &= \frac{1}{k}e^{ka}, \quad k>0 \\
&= \infty, \qquad k=0 \\
&= -\infty, \qquad k<0
\end{align}
$$
以下、上記を示す。
i) $k \neq 0$のとき
広義積分$\displaystyle \int_{-\infty}^{a} e^{kx} dx$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{a} e^{kx} dx &= \lim_{s \to \infty} \int_{s}^{a} e^{kx} dx \\
&= \lim_{s \to \infty} \left[ \frac{1}{k} e^{kx} \right]_{s}^{a} \\
&= \lim_{s \to \infty} \frac{e^{ka} – e^{ks}}{k}
\end{align}
$$
上記は$k>0$のとき$\displaystyle \frac{e^{ka}}{k}$に収束し、$k<0$のとき$-\infty$に発散する。
ⅱ) $k=0$のとき
広義積分$\displaystyle \int_{-\infty}^{a} e^{kx} dx$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{a} e^{kx} dx$ &= \lim_{s \to -\infty} \int_{s}^{a} e^{0} dx \\
&= \lim_{s \to -\infty} \left[ x \right]_{s}^{a} \\
&= \lim_{s \to -\infty} (a-s) = \infty
\end{align}
$$
i)、ⅱ)より、大元の式は成立する。