広義積分(improper integral)の定義と極限値の計算

期待値や分散のように確率分布の定義域における積分を考える場合、$\infty$が積分区間に出てくる場合があります。この取り扱いを数学的に考えるにあたっては、広義積分(improper integral)の定義を抑えておくと良いので、当記事では広義積分について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$4$章「積分($1$変数)」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

広義積分まとめ

半区間$(a,b]$上の連続関数$f(x)$の取り扱い

半区間$(a,b]$上の連続関数$f(x)$に関して下記の極限値が存在すると仮定する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{t \to a+0} \int_{t}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) dx
\end{align}
$$

このとき広義積分$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx$は収束し、下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{t \to a+0} \int_{t}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) dx
\end{align}
$$

区間$(\infty,b]$上の連続関数$f(x)$の取り扱い

区間$(\infty,b]$上の連続関数$f(x)$に関して下記の極限値が存在すると仮定する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{s \to -\infty} \int_{s}^{b} f(x) dx
\end{align}
$$

このとき広義積分$\displaystyle \int_{\infty}^{b} f(x) dx$は収束し、下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{s \to -\infty} \int_{s}^{b} f(x) dx
\end{align}
$$

広義積分の計算

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$079$

・$[1]$
下記のように値を求められる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx &= \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{1+\varepsilon}^{2} \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ 2 \sqrt{x-1} \right]_{1+\varepsilon}^{2} \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} 2(\sqrt{2-1}-\sqrt{\cancel{1}+\varepsilon-\cancel{1}}) \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} 2(1-\sqrt{\varepsilon}) \\
&= 2(1-0) = 2
\end{align}
$$

・$[2]$
下記のように値を求められる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^2} dx &= \lim_{s \to -\infty} \int_{s}^{-1} \frac{1}{x^2} dx \\
&= \lim_{s \to -\infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{s}^{-1} \\
&= \lim_{s \to -\infty} \left[ 1 + \frac{1}{s} \right] \\
&= 1+0 \\
&= 1
\end{align}
$$

・$[3]$
下記のように値を求めることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} \frac{\log{x}}{x} dx &= \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{\log{x}}{x} dx \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ \frac{1}{2}(\log{x})^{2} \right]_{\varepsilon}^{1} \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \frac{1}{2} \left[ 0 – (\log{\epsilon})^2 \right] = -\infty
\end{align}
$$

基本例題$080$

下記のように広義積分の値を求めることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{1}^{3} (1-x)^{-2} dx &= \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{1+\varepsilon}^{3} (1-x)^{-2} dx \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ (1-x)^{-1} \right]_{1+\varepsilon}^{3} \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ (1-3)^{-1} – (\cancel{1}-(\cancel{1}+\varepsilon))^{-1} \right] \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ -2^{-1} + \varepsilon^{-1} \right] \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ -\frac{1}{2} + \frac{1}{\varepsilon} \right] \\
&= \infty
\end{align}
$$

基本例題$082$

下記の式変形により、広義積分の値が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx &= \lim_{s \to -\infty} \int_{s}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1+x^2} dx \\
&= \lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} \frac{1}{1+x^2} dx \\
&= \lim_{u \to \frac{\pi}{2}} 2 \int_{0}^{u} \cos^{2}{\theta} \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\theta}} d \theta \\
&= \lim_{u \to \frac{\pi}{2}} 2 \left[ \theta \right]_{0}^{u} \\
&= \lim_{u \to \frac{\pi}{2}} 2u \\
&= \pi
\end{align}
$$

途中計算では$x=\tan{\theta}$とおいて置換積分を行なった。