当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$8$の「不定積分」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$8.1$
・$[1]$
下記のように不定積分を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\int (\sqrt{x} + 2x^3) dx &= \int (x^{\frac{1}{2}} + 2x^3) dx \\
&= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{4}x^4 + C \\
&= \frac{2}{3} x\sqrt{x} + \frac{1}{2}x^4 + C
\end{align}
$$
・$[2]$
下記のように不定積分を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\int e^{4x} dx &= \frac{1}{4} \int 4e^{4x} dx \\
&= \frac{1}{4} \int (e^{4x})’ dx \\
&= \frac{1}{4} e^{4x} + C
\end{align}
$$
問題$8.2$
・$[1]$
部分積分法を用いることで下記のように不定積分を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\int x \log{x} dx &= \frac{1}{2}x^{2} \log{x} – \frac{1}{2} \int x^{2} \cdot \frac{1}{x} dx \\
&= \frac{1}{2}x^{2} \log{x} – \frac{1}{2} \int x dx \\
&= \frac{1}{2}x^{2} \log{x} – \frac{1}{4}x^2 + C
\end{align}
$$
・$[2]$
$((x^2+1)^{6})’=12x(x^2+1)$であることを用いて、下記のように不定積分を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\int x(x^2+1)^{5} dx &= \frac{1}{12} \int 12x(x^2+1)^{5} dx \\
&= \frac{1}{12} \int ((x^2+1)^{6})’ dx \\
&= \frac{1}{12}(x^2+1)^{6} + C
\end{align}
$$