数学検定$2$級は数ⅡBまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $2$級」より、第$5$章の「ベクトル」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。
・数学検定$2$級まとめ
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本章のまとめ
内積
位置ベクトル
演習
計算技能問題
問題.$1$
$[1]$
下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
|4\vec{a} + 3\vec{b}| &= \sqrt{(4 \cdot 1 + 3 \cdot (-3))^{2} + (4 \cdot (-2) + 3 \cdot 1)^{2}} \\
&= \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} \\
&= 5 \sqrt{2}
\end{align}
$$
$[2]$
なす角を$\theta$とおくと内積の定義より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} \\
\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) &= \sqrt{1^2+(-2)^2} \sqrt{(-3)^2+1^2} \cos{\theta} \\
-3 – 2 &= \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos{\theta} \\
-5 &= 5 \sqrt{2} \cos{\theta} \\
\cos{\theta} &= – \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}
$$
上記より$\theta=135^{\circ}$である。
問題.$2$
$$
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\begin{align}
\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right), \quad \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array} \right), \quad \vec{c} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
$[1]$
$\vec{a}+t\vec{b}$と$\vec{c}$が平行であるとき下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\vec{a} + t\vec{b} &= k \vec{c} \\
\left(\begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right) + t \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array} \right) &= k \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \\
\left(\begin{array}{c} 6-3t \\ -1+2t \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} k \\ -k \end{array} \right) \\
(6-3t) + (-1+2t) &= 0 \\
t &= 5
\end{align}
$$
$[2]$
$\vec{a}+t\vec{b}$と$\vec{c}$が垂直であるとき下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
(\vec{a}+t\vec{b}) \cdot \vec{c} &= 0 \\
\left(\begin{array}{c} 6-3t \\ -1+2t \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) &= 0 \\
(6-3t) – (-1+2t) &= 0 \\
5t &= 7 \\
t &= \frac{7}{5}
\end{align}
$$
問題.$3$
$[1]$
下記のように計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
|\vec{a}-\vec{b}| &= \sqrt{|\vec{a}-\vec{b}|^{2}} \\
&= \sqrt{|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} – 2 \vec{a} \cdot \vec{b}} \\
&= \sqrt{1^{2} + 9^{2} – 2 \cdot 5} \\
&= \sqrt{72} \\
&= 6 \sqrt{2}
\end{align}
$$
$[2]$
下記のように計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
|2\vec{a} – 3\vec{b}| &= \sqrt{|2 \vec{a} – 3 \vec{b}|^{2}} \\
&= \sqrt{4|\vec{a}|^{2} + 9|\vec{b}|^{2} – 12 \vec{a} \cdot \vec{b}} \\
&= \sqrt{4 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 9^{2} – 12 \cdot 5} \\
&= \sqrt{4 + 729 – 60} \\
&= \sqrt{673}
\end{align}
$$
問題.$4$
$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$であるので下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\overrightarrow{DC} &= \overrightarrow{AB} \\
\left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) – \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) – \left(\begin{array}{c} 1 \\ -5 \end{array} \right) \\
\left(\begin{array}{c} -3-x \\ 1-y \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 8 \end{array} \right) \\
\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} -3-1 \\ 1-8 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{c} -4 \\ -7 \end{array} \right)
\end{align}
$$
問題.$5$
$[1]$
$AC:BC=OA:OB$が成立より下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
AC:BC &= OA:OB \\
&= \sqrt{2^2+1^2} : \sqrt{(-3)^2+6^2} \\
&= \sqrt{5} : \sqrt{45} \\
&= \sqrt{5} : 3 \sqrt{5} \\
&= 1 : 3
\end{align}
$$
上記より$\overrightarrow{OC}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\overrightarrow{OC} &= \overrightarrow{OA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \\
&= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \frac{1}{4} \left(\begin{array}{c} -3-2 \\ 6-1 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \frac{1}{4} \left(\begin{array}{c} -5 \\ 5 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{4} \left(\begin{array}{c} 8-5 \\ 4+5 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{4} \left(\begin{array}{c} 3 \\ 9 \end{array} \right)
\end{align}
$$
$[2]$
$\overrightarrow{OC}$と同じ向きの単位ベクトルを$\vec{e}$とおくと、$\vec{e}$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\vec{e} &= \frac{\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|} \\
&= \frac{1}{4} \left(\begin{array}{c} 3 \\ 9 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3^2+9^2}/4} \\
&= \frac{1}{4} \left(\begin{array}{c} 3 \\ 9 \end{array} \right) \cdot \frac{4}{3 \sqrt{10}} \\
&= \frac{1}{3 \sqrt{10}} \left(\begin{array}{c} 3 \\ 9 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
問題.$6$
$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right), \quad \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
$\vec{a}, \vec{b}$のなす角を$\theta$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\cos{\theta} &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\
&= \frac{2+1}{\sqrt{2}\sqrt{9}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}
$$
上記より$\theta=45^{\circ}$が成り立つ。
$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\vec{a} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right), \quad \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$
$\vec{a}, \vec{b}$のなす角を$\theta$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\cos{\theta} &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\
&= \frac{-2-6+8}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\
&= 0
\end{align}
$$
上記より$\theta=90^{\circ}$が成り立つ。
数理技能問題
問題.$1$
問題.$2$
内積について成立する式などに基づいて下記のような変形を行うことで示すことができる。
$$
\large
\begin{align}
|m\vec{a} + n\vec{b}|^{2} &= (m\vec{a} + n\vec{b}) \cdot m\vec{a} + n\vec{b} \\
&= m^2 \vec{a} \cdot \vec{a} + mn \vec{a} \cdot \vec{b} + mn \vec{b} \cdot \vec{a} + n^{2} \vec{b} \cdot \vec{b} \\
&= m^2 |\vec{a}|^{2} + 2mn(\vec{a} \cdot \vec{b}) + n^2 |\vec{b}|^{2}
\end{align}
$$
問題.$3$
$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$であるとき下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
|\vec{a}+\vec{b}| &= |\vec{a}-\vec{b}| \\
|\vec{a}+\vec{b}|^{2} &= |\vec{a}-\vec{b}|^{2} \\
|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} – 2 \vec{a} \cdot \vec{b} \\
4 \vec{a} \cdot \vec{b} &= 0 \\
\vec{a} \cdot \vec{b} &= 0
\end{align}
$$
$|\vec{a}| \neq 0, \, |\vec{b}| \neq 0$でない場合に$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$であれば$\vec{a}$と$\vec{b}$は垂直である。
問題.$4$
$[1]$
$\vec{a} \cdot \vec{b}$は下記のような変形を行うことによって得られる。
$$
\large
\begin{align}
|\vec{a}-\vec{b}|^{2} &= (3\sqrt{5})^{2} \\
|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} – 2 \vec{a} \cdot \vec{b} &= 45 \\
2 \vec{a} \cdot \vec{b} &= 5^{2} + 2^{2} – 45 \\
2 \vec{a} \cdot \vec{b} &= -16 \\
\vec{a} \cdot \vec{b} &= -8
\end{align}
$$
$[1]$
$|\vec{a}+\vec{b}|$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
|\vec{a}+\vec{b}| &= \sqrt{|\vec{a}+\vec{b}|^{2}} \\
&= \sqrt{|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b}} \\
&= \sqrt{5^{2} + 2^{2} – 16} \\
&= \sqrt{25 + 4 – 16} \\
&= \sqrt{13}
\end{align}
$$
問題.$5$
平行四辺形$ABCD$について$\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \\
\overrightarrow{BD} &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}
\end{align}
$$
よって$AC^{2}+BD^{2}$は下記のように計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
AC^{2} + BD^{2} &= |\overrightarrow{AC}|^{2} + |\overrightarrow{BD}|^{2} \\
&= |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|^{2} + |-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|^{2} \\
&= |\overrightarrow{AB}|^{2} + |\overrightarrow{BC}|^{2} + \cancel{2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}} + |\overrightarrow{AB}|^{2} + |\overrightarrow{BC}|^{2} – \cancel{2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}} \\
&= 2|\overrightarrow{AB}|^{2} + 2|\overrightarrow{BC}|^{2} \\
&= 2(AB^{2}+BC^{2})
\end{align}
$$
問題.$6$
$$
\large
\begin{align}
\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right), \quad \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の$\vec{a}, \vec{b}$の両方に垂直なベクトルを$\displaystyle \vec{e} = \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{e} &= 0 \\
\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= 0 \\
2x – 2y + z &= 0 \quad (1) \\
\vec{b} \cdot \vec{e} &= 0 \\
\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= 0 \\
2x + 3y + -4z &= 0 \quad (2)
\end{align}
$$
$(1)-(2)$より$-5y+5z=0$であり、$y=z$が成立する。また、$y=z$を$(1)$に代入することで$\displaystyle x=\frac{1}{2}$が得られる。ここで$|\vec{e}|=1$より$x^2+y^2+z^2=1$が成立するので、下記のように$z$が得られる。
$$
\large
\begin{align}
x^2 + y^2 + z^2 &= 1 \\
\frac{1}{4}z^2 + z^2 + z^{2} &= 1 \\
\frac{9}{4}z^{2} &= 1 \\
z^{2} &= \frac{4}{9} \\
z &= \pm \frac{2}{3}
\end{align}
$$
よって、$\vec{e}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\vec{e} &= \pm \frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$
