数学検定2級 解説 〜公式問題集 解説&解答 Ch.3「直線・円の方程式」〜

数学検定$2$級は数ⅡBまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $2$級」より、第$3$章の「直線・円の方程式」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。

・数学検定$2$級まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_certificate_2

本章のまとめ

演習

計算技能問題

問題.$1$

$[1]$
傾きが$2$の直線は$y=2x+b$のように表せる。この直線が$(1,-2)$を通ることより下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
-2 &= 2 \cdot 1 + b \\
b &= -4
\end{align}
$$

よって$y=2x-4$が得られる。

$[2]$
直線の傾きは下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{5-(-1)}{4-2} &= \frac{6}{2} \\
&= 3
\end{align}
$$

ここで直線$y=3x+b$が$(2,-1)$を通ることで下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
-1 &= 3 \cdot 2 + b \\
b &= -7
\end{align}
$$

よって$y=3x-7$が得られる。

問題.$2$

下記のように$a$の値が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{-2-6}{3-(-1)} &= \frac{2-6}{a-(-1)} \\
\frac{-8}{4} &= \frac{-4}{a+1} \\
-2 &= \frac{-4}{a+1} \\
a+1 &= 2 \\
a &= 1
\end{align}
$$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

$x^2+y^2-4x+2y+1=0$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
x^2 + y^2 – 4x + 2y + 1 &= 0 \\
(x-2)^2 + (y-1)^{2} – 2^2 – 1^2 + 1 &= 0 \\
(x-2)^2 + (y-1)^{2} &= 2^2
\end{align}
$$

上記より円の中心は$(2,1)$、半径は$2$である。

問題.$6$

$x-y+1=0$より$y=x+1$を$x^2+y^2=5$に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
x^2 + y^2 &= 5 \\
x^2 + (x+1)^2 &= 5 \\
x^2 + x^2 + 2x + 1 &= 5 \\
2(x^2+x-2) &= 0 \\
(x+2)(x-1) &= 0
\end{align}
$$

上記より$x=-2,1$が得られる。よって直線と円の交点は$(-2,-1), (1,2)$である。

問題.$7$

$\sqrt{3^2+4^{2}}=5$より、中心が$(3,4)$で半径が$5-3=2$の円が該当する。よって円の方程式は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
(x-3)^2 + (y-4)^2 = 2^2
\end{align}
$$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

問題.$6$

問題.$7$

問題.$8$