Ch.6 「代表的な連続確率分布」の章末問題の解答例 〜数理統計学(共立出版)〜

当記事は「数理統計学(共立出版)」の読解サポートにあたってChapter.$6$の「代表的な連続確率分布」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math_stat#green

章末の演習問題について

問題6.1の解答例

コーシー分布の確率密度関数を$f(x)$とおくと下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}
\end{align}
$$

「特定の区間の期待値が発散$\, \implies \,$有限の期待値・分散を持たない」であるので、以下では$[0,\infty)$における$xf(x)$の積分が発散することを示す。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} xf(x) dx &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} dx \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} \frac{(1+x^2)’}{1+x^2} dx \\
&= \frac{1}{2 \pi} \left[ \log{(1+x^2)} \right]_{0}^{\infty} = \infty
\end{align}
$$

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} xf(x) dx = \infty$であるのでコーシー分布は期待値を持たないことが示される。

・類題
現代数理統計学 問$4.10$

問題6.2の解答例

問題6.3の解答例

問題6.4の解答例

確率変数$X$に関して$X \sim F(n_1,n_2)$より、以下が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f_{X}(x) = \frac{x^{\frac{n_1}{2}-1}}{B \left( \frac{n_1}{2}, \frac{n_2}{2} \right)} \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^{\frac{n_1}{2}} \left( 1+\frac{n_1}{n_2}x \right)^{-\frac{n_1+n_2}{2}}, \quad x > 0
\end{align}
$$

上記に対し、下記のような変数変換を考える。
$$
\large
\begin{align}
Y = \frac{\frac{n_1}{n_2}X}{1+\frac{n_1}{n_2}X}
\end{align}
$$

$\displaystyle y = \frac{\frac{n_1}{n_2}y}{1+\frac{n_1}{n_2}x}$は下記のように$x$に関して解くことができる。
$$
\large
\begin{align}
y &= \frac{\frac{n_1}{n_2}x}{1+\frac{n_1}{n_2}x} \\
y \left( 1+\frac{n_1}{n_2}x \right) &= \frac{n_1}{n_2}x \\
y + y \cdot \frac{n_1}{n_2}x &= \frac{n_1}{n_2}x \\
y &= (1-y) \frac{n_1}{n_2}x \\
x &= \frac{y}{\frac{n_1}{n_2} (1-y)}
\end{align}
$$

上記より$\displaystyle \frac{dx}{dy}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dx}{dy} &= \frac{\frac{n_1}{n_2} (1-y) – y\frac{n_1}{n_2} \cdot (-1)}{\left( \frac{n_1}{n_2} \right)^{2} (1-y)^2} \\
&= \frac{\frac{n_1}{n_2}}{\left( \frac{n_1}{n_2} \right)^{2} (1-y)^2} \\
&= \frac{1}{\frac{n_1}{n_2} (1-y)^2}
\end{align}
$$

ここで確率変数$Y$に関する確率密度関数を$g_Y(y)$とおくと、変数変換の公式より$g_Y(y)$は下記のように得ることができる。
$$
\large
\begin{align}
g_Y(y) &= f_X(x) \left| \frac{dx}{dy} \right| \\
&= f_X \left( \frac{y}{\frac{n_1}{n_2} (1-y)} \right) \times \frac{1}{\frac{n_1}{n_2} (1-y)^2} \\
&= \frac{\left(\frac{y}{\cancel{\frac{n_1}{n_2}} (1-y)}\right)^{\frac{n_1}{2}-1}}{B \left( \frac{n_1}{2}, \frac{n_2}{2} \right)} \cancel{\left( \frac{n_1}{n_2} \right)^{\frac{n_1}{2}}} \left( 1+\cancel{\frac{n_1}{n_2}} \cdot \frac{y}{\cancel{\frac{n_1}{n_2}} (1-y)} \right)^{-\frac{n_1+n_2}{2}} \times \frac{1}{\cancel{\frac{n_1}{n_2}} (1-y)^2} \\
&= \frac{1}{B \left( \frac{n_1}{2}, \frac{n_2}{2} \right)} \cdot \left(\frac{y}{1-y}\right)^{\frac{n_1}{2}-1} \cdot \left( \frac{1-y+y}{1-y} \right)^{-\frac{n_1+n_2}{2}} \cdot \frac{1}{(1-y)^2} \\
&= \frac{1}{B \left( \frac{n_1}{2}, \frac{n_2}{2} \right)} \cdot \left(\frac{y}{1-y}\right)^{\frac{n_1}{2}-1} \cdot (1-y)^{\frac{n_1+n_2}{2}} \cdot \frac{1}{(1-y)^2} \\
&= \frac{1}{B \left( \frac{n_1}{2}, \frac{n_2}{2} \right)} y^{\frac{n_1}{2}-1} (1-y)^{\frac{n_1+n_2}{2} – \left( \frac{n_1}{2}-1 \right) – 2} \\
&= \frac{1}{B \left( \frac{n_1}{2}, \frac{n_2}{2} \right)} y^{\frac{n_1}{2}-1} (1-y)^{\frac{n_2}{2} – 1}
\end{align}
$$

上記がベータ分布$\displaystyle \mathrm{Be} \left( \frac{n_1}{2}, \frac{n_2}{2} \right)$の確率密度関数に一致する。よって、$\displaystyle Y \sim \mathrm{Be} \left( \frac{n_1}{2}, \frac{n_2}{2} \right)$である。