当記事は「数理統計学(共立出版)」の読解サポートにあたってChapter.$10$の「統計的仮説検定の考え方」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math_stat#green
章末の演習問題について
問題10.1の解答例
$X_1, \cdots , X_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$に関して同時確率密度関数$f(x_1,\cdots,x_n; \mu,\sigma^2)$は下記のように表すことができる。
$$
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\begin{align}
f(x_1,\cdots,x_n; \mu,\sigma^2) &= \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \mu,\sigma^2) \\
&= \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp{\left[ -\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right]} \\
&= \prod_{i=1}^{n} \exp{\left[ -\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} – \frac{1}{2}\log{(2 \pi \sigma^2)} \right]} \\
&= \prod_{i=1}^{n} h(x_i) \exp{ \left[ \frac{x_i}{\sigma^2}\mu + g(\mu) \right] } \\
&= \exp{ \left[ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i}{\sigma^2}\mu + g(\mu) \right) \right] } \prod_{i=1}^{n} h(x_i) \\
&= \exp{ \left[ \frac{\mu}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} x_i + n g(\mu) \right] } \prod_{i=1}^{n} h(x_i) \\
&= \exp{ \left[ \bar{x} \frac{n \mu}{\sigma^2} + n g(\mu) \right] } \prod_{i=1}^{n} h(x_i)
\end{align}
$$
上記が「指数型分布族の確率密度関数の形式で表される」かつ$\bar{x}$に関して単調増加であるので、尤度関数の$L(\mu)=f(x_1,\cdots,x_n; \mu,\sigma^2)$は標本平均$\bar{x}$について単調尤度比を持つ。
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\begin{align}
\left\{\bar{x} \middle| \bar{x} < a \, \mathrm{or} \, b < \bar{x} \right\}
\end{align}
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よって上記のように表される検定の「①有意水準が$\alpha$」で「②不偏」の場合を考えれば良い。正規分布に基づく検定が「②不偏」であるには棄却域が左右対称であるので、棄却域が左右対象で「①有意水準が$\alpha$」の場合は下記のように表される。
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\begin{align}
\left\{\bar{x} \middle| \frac{\sqrt{n}(\bar{x} – \mu_0)}{\sigma} \leq z_{\alpha/2} \, \mathrm{or} \, z_{\alpha/2} \leq \frac{\sqrt{n}(\bar{x} – \mu_0)}{\sigma} \right\} = \left\{\bar{x} \middle| \frac{\sqrt{n}|\bar{x} – \mu_0|}{\sigma} \geq z_{\alpha/2} \right\}
\end{align}
$$
「不偏」の定義に関連する正規分布の検出関数は下記などで取り扱った。