当記事は「現代数理統計学の基礎(共立出版)」の読解サポートにあたってChapter.$2$の「確率分布と期待値」の章末問題の解説について行います。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math_stat#basic
Contents
章末の演習問題について
問題2.1の解答例
$[1]$
$$
\large
\begin{align}
f(x) = Cx^3, \quad 0 < x < 2
\end{align}
$$
$f(x)$が確率密度関数であるとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{2} f(x) dx = C \int_{0}^{2} x^3 dx &= 1 \\
\left[ \frac{C}{4}x^4 \right]_{0}^{2} &= 1 \\
\frac{C}{4} \cdot 2^{4} &= 1 \\
4 C &= 1 \\
C &= \frac{1}{4}
\end{align}
$$
また、累積分布関数$F(x)$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
F(x) &= \int_{0}^{x} \frac{1}{4} u^3 du \\
&= \left[ \frac{1}{16}u^4 \right]_{0}^{x} \\
&= \frac{1}{16}x^4
\end{align}
$$
$[2]$
$$
\large
\begin{align}
f(x) = Ce^{-|x|}, \quad -\infty < x < \infty
\end{align}
$$
$f(x)$が確率密度関数であるとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = C \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|} dx &= 1 \\
2C \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx &= 1 \\
2C \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{\infty} &= 1 \\
2 C &= 1 \\
C &= \frac{1}{2}
\end{align}
$$
また、累積分布関数$F(x)$は下記のように得られる。
・$x \leq 0$のとき
$$
\large
\begin{align}
F(x) &= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2} e^{u} du \\
&= \left[ \frac{1}{2}e^{u} \right]_{-\infty}^{x} \\
&= \frac{1}{2}e^{x}
\end{align}
$$
・$x > 0$のとき
$$
\large
\begin{align}
F(x) &= \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2} e^{u} du + \int_{0}^{x} \frac{1}{2} e^{-u} du \\
&= \frac{1}{2} + \left[ -\frac{1}{2}e^{-u} \right]_{0}^{x} \\
&= 1 – \frac{1}{2} e^{-x}
\end{align}
$$