三角関数の累乗や積の積分とベータ関数(Beta function)の対応

三角関数に関する積分の$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{a}{\theta} \cos^{b}{\theta} d \theta$はベータ関数に対応します。積分法に関しては微分のように直線的に計算できない場合もあるので、当記事では詳しい導出に関して取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$4$章「積分」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

三角関数の積分とベータ関数の対応

式の確認

$$
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\begin{align}
B(a,b) = \int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx
\end{align}
$$

ベータ関数$B(a,b)$を上記のように定義する。このとき、三角関数の積分に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{a}{\theta} \cos^{b}{\theta} d \theta = \frac{1}{2} B \left( \frac{a+1}{2},\frac{b+1}{2} \right)
\end{align}
$$

導出の詳細

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{a}{\theta} \cos^{b}{\theta} d \theta$の計算にあたって、$t=\sin^{2}{\theta}$とおき、$\theta$から$t$に変数変換を行うことを考える。このとき、$\displaystyle \frac{dt}{d \theta}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dt}{d \theta} &= \frac{d}{d \theta} \sin^{2}{\theta} \\
&= 2 \sin{\theta} (\sin{\theta})’ \\
&= 2 \sin{\theta} \cos{\theta}
\end{align}
$$

上記より$dt = 2 \sin{\theta} \cos{\theta} d \theta$が成立する。ここで$t=\sin^{2}{\theta}$より、$1-t=1-\sin^{2}{\theta}=\cos^{2}{\theta}$が成立し、$0 < \theta < \pi/2$より$\sin{\theta}>0,\cos{\theta}>0$が成立する。よって、下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\sin{\theta} &= t^{\frac{1}{2}} \\
\cos{\theta} &= (1-t)^{\frac{1}{2}}
\end{align}
$$

また、$0 < \theta < \pi/2$は$0<t<1$に対応する。よって、$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{a}{\theta} \cos^{b}{\theta} d \theta$は下記のように変数変換やベータ関数の定義の当てはめができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{a}{\theta} \cos^{b}{\theta} d \theta &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{a-1}{\theta} \cos^{b-1}{\theta} \times 2 \sin{\theta}\cos{\theta} d \theta \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{\frac{a-1}{2}} (1-t)^{\frac{b-1}{2}} dt \\
&= \frac{1}{2} B \left( \frac{a+1}{2},\frac{b+1}{2} \right)
\end{align}
$$

使用例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$089$

$$
\large
\begin{align}
B \left( n+\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) \times & B \left( n+1,\frac{1}{2} \right) = \frac{2 \pi}{2n+1} \\
n & \in \mathbb{N}
\end{align}
$$

以下、上記の数式をを示す。$\displaystyle B \left( n+\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) \times B \left( n+1,\frac{1}{2} \right)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
B \left( n+\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) \times B \left( n+1,\frac{1}{2} \right) &= B \left( \frac{2n+1}{2},\frac{0+1}{2} \right) \times B \left( \frac{(2n+1)+1}{2},\frac{0+1}{2} \right) \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}{\theta}\cos^{0}{\theta} d \theta \times \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1}{\theta}\cos^{0}{\theta} d \theta \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}{\theta} d \theta \times \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1}{\theta} d \theta \quad (1)
\end{align}
$$

ここで基本例題$074$より下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2n}{x} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}{x} dx = \frac{(2n-1)!!}{2n!!} \cdot \frac{\pi}{2} \quad (2) \\
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2n+1}{x} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1}{x} dx = \frac{2n!!}{(2n+1)!!} \quad (3) \\
n & \in \mathbb{N}
\end{align}
$$

$(2)$式、$(3)$式を$(1)$式に代入することで下記が得られる。
$$
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\begin{align}
B \left( n+\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) \times B \left( n+1,\frac{1}{2} \right) &= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}{\theta} d \theta \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1}{\theta} d \theta \quad (1) \\
&= 4 \times \frac{(2n-1)!!}{\cancel{2n!!}} \times \frac{\pi}{2} \times \frac{\cancel{2n!!}}{(2n+1)!!} \\
&= \frac{2 \pi}{2n+1}
\end{align}
$$

基本例題$074$の導出に関しては下記で詳しく取り扱った。