ウォリス積分(Wallis integral)を用いたsin・cosのn乗の積分の計算

三角関数の$n$乗の積分は部分積分法を用いて計算することができますが、この一連の手順はイングランドの数学者のジョン・ウォリス(John Wallis)によって導入されたことからウォリス積分(Wallis integral)といわれます。当記事では一連の手順に関して取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$4$章「積分($1$変数)」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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ウォリス積分の概要と導出

ウォリス積分の公式

ウォリス積分の公式は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2m}{x} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m}{x} dx = \frac{(2m-1)!!}{2m!!} \cdot \frac{\pi}{2} \quad (1) \\
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2m+1}{x} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}{x} dx = \frac{2m!!}{(2m+1)!!} \quad (2) \\
m & \in \mathbb{N}
\end{align}
$$

部分積分法を用いたウォリスの公式の導出

$n \geq 2$であるとき、$\displaystyle I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}{x} dx$に対して部分積分法を用いると以下のように計算できる。
$$
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\begin{align}
I_n &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}{x} dx \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} \cdot \cos^{n-1}{x} dx \\
&= \left[ \sin{x} \cos^{n-1}{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} \cdot (n-1)\cos^{n-2}{x} \cdot (-\sin{x}) dx \\
&= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}{x} \cdot \cos^{n-2}{x}dx \\
&= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos^{2}{x}) \cos^{n-2}{x}dx \\
&= (n-1) (I_{n-2} – I_n)
\end{align}
$$

上記より$nI_{n} = (n-1)I_{n-2}$が成立する。また、$\displaystyle I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}{x} dx$に対して同様に部分積分法を用いると以下のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
I_n &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}{x} dx \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} \cdot \sin^{n-1}{x} dx \\
&= \left[ -\cos{x} \sin^{n-1}{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} \cdot (n-1)\sin^{n-2}{x} \cdot \cos{x} dx \\
&= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}{x} \cdot \sin^{n-2}{x} dx \\
&= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin^{2}{x})\sin^{n-2}{x} dx \\
&= (n-1) (I_{n-2} – I_n)
\end{align}
$$

上記より$nI_{n} = (n-1)I_{n-2}$が成立する。以下、$I_n$の具体的な値を計算するにあたって、$n=0, 1$における$I_n$の計算を行う。
$$
\large
\begin{align}
I_{0} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx \\
&= [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \\
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} dx &= [\sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= 1 \\
\int{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} dx &= [-\cos{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= -(0-1) = 1
\end{align}
$$

よって、$\displaystyle I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}{x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}{x} dx$のようにおくことができ、$m \in \mathbb{N}$に関して以下のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2m}{x} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m}{x} dx = \frac{(2m-1)!!}{2m!!} \cdot \frac{\pi}{2} \quad (1) \\
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2m+1}{x} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}{x} dx = \frac{2m!!}{(2m+1)!!} \quad (2) \\
m & \in \mathbb{N}
\end{align}
$$

ウォリス積分の使用例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$089$

「三角関数の累乗や積の積分とベータ関数(Beta function)の対応」で詳しく取り扱った。

三角関数の累乗や積の積分とベータ関数(Beta function)の対応