コーシー(Cauchy)の収束判定法の概要と具体的な使用例のまとめ

コーシー(Cauchy)の収束判定は正項級数の収束判定にあたって一般項$a_n$の$n$分の$1$乗の極限の計算を行うことで判定を行う手法です。当記事ではコーシーの収束判定法の概要と、具体的な活用に関して確認するにあたって使用例について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$8$章「級数」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

コーシーの収束判定法の概要

正項級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n, \: a_n > 0$に関して下記が存在すると仮定する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} (a_n)^{\frac{1}{n}} = r
\end{align}
$$

このとき、$r<1$であれば級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n, \: a_n > 0$は和を持ち、$r>1$であれば級数は発散する。

上記をコーシーの収束判定法という。

コーシーの収束判定法の使用例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$152$

$$
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\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-n^2}
\end{align}
$$

上記に対して$\displaystyle (a_n)^{\frac{1}{n}}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
(a_n)^{\frac{1}{n}} &= \left( \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-n^2} \right)^{\frac{1}{n}} \\
&= \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-\frac{n^2}{n}} \\
&= \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-n} = \frac{1}{\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}}
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}} = \frac{1}{e} < 1
\end{align}
$$

上記に対し、コーシーの収束判定を用いることで、級数が収束し和を持つと考えることができる。