逆三角関数(inverse trigonometric function)の微分の公式の導出

三角関数$\sin, \cos, \tan$の逆関数の$\sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1}$は積分の結果の表記などでよく用いられるので、結果の解釈がしやすいように値に関して具体的に抑えておくと良いです。当記事では逆三角関数の微分の公式の導出に関して取りまとめました。

・数学まとめ
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前提の確認

公式一覧

$$
\large
\begin{align}
(\sin^{-1}{x})’ &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\cos^{-1}{x})’ &= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\tan^{-1}{x})’ &= \frac{1}{1+x^2}
\end{align}
$$

逆関数の微分の公式

逆三角関数の微分の公式の導出にあたっては下記で表した逆関数の微分の公式を用いる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dx}{dy} = \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1}
\end{align}
$$

上記の「微分の定義式」に基づく導出は下記で取り扱った。

微分の公式とその導出まとめ　〜積・商・合成関数・逆関数の導関数、三角関数 etc〜

公式の導出

$\displaystyle (\sin^{-1}{x})’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$の導出

$y=\sin^{-1}{x}$とおくと、$x=\sin{y}$が成立するので、$\displaystyle \frac{dx}{dy}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dx}{dy} &= \frac{d}{dy} (\sin{y}) \\
&= \cos{y}
\end{align}
$$

したがって、$\displaystyle (\sin^{-1}{x})’ = \frac{dx}{dy}$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
(\sin^{-1}{x})’ &= \frac{dx}{dy} = \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \\
&= \frac{1}{\cos{y}} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}{y}}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align}
$$

上記より$\displaystyle (\sin^{-1}{x})’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$が成立する。

$\displaystyle (\cos^{-1}{x})’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$の導出

$y=\cos^{-1}{x}$とおくと、$x=\cos{y}$が成立するので、$\displaystyle \frac{dx}{dy}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dx}{dy} &= \frac{d}{dy} (\cos{y}) \\
&= -\sin{y}
\end{align}
$$

したがって、$\displaystyle (\cos^{-1}{x})’ = \frac{dx}{dy}$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
(\cos^{-1}{x})’ &= \frac{dx}{dy} = \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \\
&= -\frac{1}{\sin{y}} = -\frac{1}{\sqrt{1-\cos^{2}{y}}} \\
&= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align}
$$

上記より$\displaystyle (\cos^{-1}{x})’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$が成立する。

$\displaystyle (\tan^{-1}{x})’ = \frac{1}{1+x^2}$の導出

下記で取り扱った。

微分の公式とその導出まとめ　〜積・商・合成関数・逆関数の導関数、三角関数 etc〜

参考