積分は微分の逆の演算ですが、関数形によっては積分の計算が行えない場合や、部分積分や置換積分のようになんらかの処理が必要な場合があるので詳しくまとめます。当記事では「Wikipedia：原始関数の一覧」より$\sqrt{a…
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投稿者: lib-arts
ロジスティック分布とコーシー分布の確率密度関数の$2$階微分と変曲点の導出
定義域が実数全体かつ左右対称の確率分布の確率密度関数には基本的には変曲点が存在します。「正規分布のパラメータと確率密度関数の形状の変化」では正規分布の変曲点が分散を表す$\sigma^2$を用いて表しましたが、当記事では…
ax+bを含む積分の公式とそれぞれの導出の流れ｜積分の公式一覧とその導出①
積分は微分の逆の演算ですが、関数形によっては積分の計算が行えない場合や、部分積分や置換積分のようになんらかの処理が必要な場合があるので詳しくまとめます。当記事では「Wikipedia：原始関数の一覧」より$ax+b$を含…
t分布の確率密度関数の導出とt分布の自由度$\nu$と正規分布・コーシー分布の対応
$t$分布は分散未知の場合の母平均の区間推定や検定などで主に用いられる分布ですが、数理統計学では$t$確率密度関数の導出や$t$分布の自由度$\nu$と正規分布、コーシー分布の対応について学びます。当記事ではこれらの導出…
逆関数法を用いたワイブル分布、ロジスティック分布、コーシー分布に基づく乱数の生成
逆関数法は累積分布関数が値域$(0,1)$かつ単調増加の関数であることに基づいて、区間$(0,1)$で生成する一様乱数を累積分布関数と対応させることで乱数生成を行う手法です。当記事では、ワイブル分布、ロジスティック分布、…
【試験・検定対策用】確率密度関数・確率エレメント・定積分における確率変数の変換の解き方
確率密度関数・確率エレメント・定積分における確率変数の変換にあたっては手順に沿って計算を行えば十分である一方で、公式がわからなくなりがちです。そこで当記事では「ボックス・ミュラー法」の導出を元に難しい点の確認を行なった後…
ボックス・ミュラー法(Box-Muller’s method)を用いた正規乱数の生成
当記事では一様乱数から正規乱数の生成を行うボックス・ミュラー法(Box-Muller’s method)の原理に関して取り扱いました。ボックス・ミュラー法はガウス積分を行う際と同様の考え方を用いるので、ガウス…
基底関数の集合に対応するカーネル関数の計算とPythonを用いたグラフの作成
カーネル法(Kernel methods)の理解にあたって、計算処理の概要が把握しにくいように思われたので、Pythonプログラムの作成を通して図などの再現を行います。当記事では「パターン認識と機械学習」の下巻の$6.2…
LU分解を用いた連立方程式の解法と逆行列の導出の仕組みとPythonでのプログラミング
当記事ではLU分解を用いた「$1$次連立方程式の解法」と「逆行列」の導出の仕組みに関して詳しく確認し、確認した式を元にPythonでプログラムを作成します。特に逆行列は行列を扱う上で様々なところで用いられるので、仕組みの…
LU分解(LU decomposition)の原理の理解とPythonを用いた実装
当記事ではLU分解(LU decomposition)の原理の理解とPythonを用いた実装に関して取り扱います。LU分解は方程式を順に解く手法であり、手計算を行うと大変なのでPythonなどで計算を行うとスムーズですが…