積分は微分の逆の演算ですが、関数形によっては積分の計算が行えない場合や、部分積分や置換積分のようになんらかの処理が必要な場合があるので詳しくまとめます。当記事では「Wikipedia：原始関数の一覧」より$\sqrt{a+bx}$を含む積分に関して、導出を追記する形式で取り扱いました。
基本的には不定積分のみを取り扱いますが、定積分は$\displaystyle \left[ F(x)+C \right]_{a}^{b}=(F(a)+C)-(F(b)+C)=F(a)-F(b)$のようにそれぞれ同様に計算ができることから定積分の取り扱いに関しては省略します。
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数式一覧
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\begin{align}
\int x\sqrt{a+bx} dx &= \frac{2}{15b^2}(3bx-2a)(a+bx)^{\frac{3}{2}} + C \\
\int x^2 \sqrt{a+bx} dx &= \frac{2}{105b^3}(15b^2x^2-12abx+8a^2)(a+bx)^{\frac{3}{2}} + C \\
\int \frac{\sqrt{a+bx}}{x} dx &= 2 \sqrt{a+bx} + a \int \frac{1}{x\sqrt{a+bx}} dx
\end{align}
$$
導出の詳細
・$\displaystyle \int x\sqrt{a+bx} dx = \frac{2}{15b^2}(3bx-2a)(a+bx)^{\frac{3}{2}} + C$
部分積分の考え方を用いて積分の計算を行う。
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\begin{align}
\int x\sqrt{a+bx} dx &= \int x(a+bx)^{\frac{1}{2}} dx \\
&= \frac{2}{3b}x(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{2}{3b}\int (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx \\
&= \frac{2}{3b}x(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{2 \cdot 2}{3b \cdot 5b} (a+bx)^{\frac{5}{2}} + C \\
&= \frac{2}{15b^2} (a+bx)^{\frac{3}{2}} (5bx – 2(a+bx)) + C \\
&= \frac{2}{15b^2} (a+bx)^{\frac{3}{2}} (3bx – 2a) + C \\
&= \frac{2}{15b^2} (3bx – 2a) (a+bx)^{\frac{3}{2}} + C
\end{align}
$$
・$\displaystyle \int x^2 \sqrt{a+bx} dx = \frac{2}{105b^3}(15b^2x^2-12abx+8a^2)(a+bx)^{\frac{3}{2}} + C$
部分積分の考え方を用いて積分の計算を行う。
$$
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\begin{align}
\int x^2 \sqrt{a+bx} dx &= \int x^{2}(a+bx)^{\frac{1}{2}} dx \\
&= \frac{2}{3b}x^2(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{2}{3b}\int 2x (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx \\
&= \frac{2}{3b}x^2(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{4}{3b}\int x (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle \int x (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx$は下記のように計算を行える。
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\begin{align}
\int x (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx &= \frac{2}{5b}x(a+bx)^{\frac{5}{2}} – \frac{2}{5b}\int (a+bx)^{\frac{5}{2}} dx \\
&= \frac{2}{5b}x(a+bx)^{\frac{5}{2}} – \frac{2 \cdot 2}{5b \cdot 7b}(a+bx)^{\frac{7}{2}} + C’ \\
&= \frac{2}{5b}x(a+bx)^{\frac{5}{2}} – \frac{4}{35b^2}(a+bx)^{\frac{7}{2}} + C’
\end{align}
$$
よって$\displaystyle \int x^2 \sqrt{a+bx} dx$は下記のように計算できる。
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\begin{align}
& \int x^2 \sqrt{a+bx} dx = \frac{2}{3b}x^2(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{4}{3b}\int x (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx \\
&= \frac{2}{3b}x^2(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{4}{3b} \left[ \frac{2}{5b}x(a+bx)^{\frac{5}{2}} – \frac{4}{35b^2}(a+bx)^{\frac{7}{2}} \right] + C \\
&= \frac{2}{3b}x^2(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{8}{15b^2}x(a+bx)^{\frac{5}{2}} – \frac{16}{105b^3}(a+bx)^{\frac{7}{2}} + C \\
&= \frac{2}{105b^3} (a+bx)^{\frac{3}{2}} \left[ 35b^2x^2 – 28bx(a+bx) + 8(a+bx)^2 \right] + C \\
&= \frac{2}{105b^3} (a+bx)^{\frac{3}{2}} \left[ 35b^2x^2 – 28abx – 28b^2x^2 + 8a^2 + 16abx +8b^2x^2 \right] + C \\
&= \frac{2}{105b^3} (a+bx)^{\frac{3}{2}} (15b^2x^2-12abx+8a^2) + C \\
&= \frac{2}{105b^3} (15b^2x^2-12abx+8a^2)(a+bx)^{\frac{3}{2}} + C
\end{align}
$$