$\sqrt{a+bx}$を含む積分の公式とそれぞれの導出の流れ|積分の公式一覧とその導出②

積分は微分の逆の演算ですが、関数形によっては積分の計算が行えない場合や、部分積分や置換積分のようになんらかの処理が必要な場合があるので詳しくまとめます。当記事では「Wikipedia:原始関数の一覧」より$\sqrt{a+bx}$を含む積分に関して、導出を追記する形式で取り扱いました。

基本的には不定積分のみを取り扱いますが、定積分は$\displaystyle \left[ F(x)+C \right]_{a}^{b}=(F(a)+C)-(F(b)+C)=F(a)-F(b)$のようにそれぞれ同様に計算ができることから定積分の取り扱いに関しては省略します。

数式一覧

$$
\large
\begin{align}
\int x\sqrt{a+bx} dx &= \frac{2}{15b^2}(3bx-2a)(a+bx)^{\frac{3}{2}} + C \\
\int x^2 \sqrt{a+bx} dx &= \frac{2}{105b^3}(15b^2x^2-12abx+8a^2)(a+bx)^{\frac{3}{2}} + C \\
\int \frac{\sqrt{a+bx}}{x} dx &= 2 \sqrt{a+bx} + a \int \frac{1}{x\sqrt{a+bx}} dx
\end{align}
$$

導出の詳細

・$\displaystyle \int x\sqrt{a+bx} dx = \frac{2}{15b^2}(3bx-2a)(a+bx)^{\frac{3}{2}} + C$

部分積分の考え方を用いて積分の計算を行う。
$$
\large
\begin{align}
\int x\sqrt{a+bx} dx &= \int x(a+bx)^{\frac{1}{2}} dx \\
&= \frac{2}{3b}x(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{2}{3b}\int (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx \\
&= \frac{2}{3b}x(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{2 \cdot 2}{3b \cdot 5b} (a+bx)^{\frac{5}{2}} + C \\
&= \frac{2}{15b^2} (a+bx)^{\frac{3}{2}} (5bx – 2(a+bx)) + C \\
&= \frac{2}{15b^2} (a+bx)^{\frac{3}{2}} (3bx – 2a) + C \\
&= \frac{2}{15b^2} (3bx – 2a) (a+bx)^{\frac{3}{2}} + C
\end{align}
$$

・$\displaystyle \int x^2 \sqrt{a+bx} dx = \frac{2}{105b^3}(15b^2x^2-12abx+8a^2)(a+bx)^{\frac{3}{2}} + C$

部分積分の考え方を用いて積分の計算を行う。
$$
\large
\begin{align}
\int x^2 \sqrt{a+bx} dx &= \int x^{2}(a+bx)^{\frac{1}{2}} dx \\
&= \frac{2}{3b}x^2(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{2}{3b}\int 2x (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx \\
&= \frac{2}{3b}x^2(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{4}{3b}\int x (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \int x (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx$は下記のように計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
\int x (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx &= \frac{2}{5b}x(a+bx)^{\frac{5}{2}} – \frac{2}{5b}\int (a+bx)^{\frac{5}{2}} dx \\
&= \frac{2}{5b}x(a+bx)^{\frac{5}{2}} – \frac{2 \cdot 2}{5b \cdot 7b}(a+bx)^{\frac{7}{2}} + C’ \\
&= \frac{2}{5b}x(a+bx)^{\frac{5}{2}} – \frac{4}{35b^2}(a+bx)^{\frac{7}{2}} + C’
\end{align}
$$

よって$\displaystyle \int x^2 \sqrt{a+bx} dx$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
& \int x^2 \sqrt{a+bx} dx = \frac{2}{3b}x^2(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{4}{3b}\int x (a+bx)^{\frac{3}{2}} dx \\
&= \frac{2}{3b}x^2(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{4}{3b} \left[ \frac{2}{5b}x(a+bx)^{\frac{5}{2}} – \frac{4}{35b^2}(a+bx)^{\frac{7}{2}} \right] + C \\
&= \frac{2}{3b}x^2(a+bx)^{\frac{3}{2}} – \frac{8}{15b^2}x(a+bx)^{\frac{5}{2}} – \frac{16}{105b^3}(a+bx)^{\frac{7}{2}} + C \\
&= \frac{2}{105b^3} (a+bx)^{\frac{3}{2}} \left[ 35b^2x^2 – 28bx(a+bx) + 8(a+bx)^2 \right] + C \\
&= \frac{2}{105b^3} (a+bx)^{\frac{3}{2}} \left[ 35b^2x^2 – 28abx – 28b^2x^2 + 8a^2 + 16abx +8b^2x^2 \right] + C \\
&= \frac{2}{105b^3} (a+bx)^{\frac{3}{2}} (15b^2x^2-12abx+8a^2) + C \\
&= \frac{2}{105b^3} (15b^2x^2-12abx+8a^2)(a+bx)^{\frac{3}{2}} + C
\end{align}
$$