ax+bを含む積分の公式とそれぞれの導出の流れ|積分の公式一覧とその導出①

積分は微分の逆の演算ですが、関数形によっては積分の計算が行えない場合や、部分積分や置換積分のようになんらかの処理が必要な場合があるので詳しくまとめます。当記事では「Wikipedia:原始関数の一覧」より$ax+b$を含む積分に関して、導出を追記する形式で取り扱いました。

基本的には不定積分のみを取り扱いますが、定積分は$\displaystyle \left[ F(x)+C \right]_{a}^{b}=(F(a)+C)-(F(b)+C)=F(a)-F(b)$のようにそれぞれ同様に計算ができることから定積分の取り扱いに関しては省略します。

数式一覧

$$
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\begin{align}
\int \frac{1}{ax+b} dx &= \frac{1}{a} \ln{|ax+b|} + C \quad (1) \\
\int \frac{x}{ax+b} dx &= \frac{x}{a} – \frac{b}{a^2} \ln{|ax+b|} + C \quad (2) \\
\int \frac{x^2}{ax+b} dx &= \frac{1}{2a^3} (a^2x^2 – 2abx + 2b^2\ln{|ax+b|}) + C \quad (3) \\
\int \frac{1}{x(ax+b)} dx &= -\frac{1}{b} \ln{ \left| \frac{ax+b}{x} \right|} + C \quad (4) \\
\int \frac{1}{x^2(ax+b)} dx &= \frac{a}{b^2} \ln{ \left| \frac{ax+b}{x} \right|} – \frac{1}{bx} + C \quad (5)
\end{align}
$$

導出の詳細

・$\displaystyle \int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln{|ax+b|} + C$

$$
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\begin{align}
\frac{d}{dx} (\log{|ax+b|}) &= \frac{(ax+b)’}{ax+b} \\
&= \frac{a}{ax+b} \\
\frac{1}{ax+b} &= \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{a}\log{|ax+b|} + C \right)
\end{align}
$$

上記より、下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a}\ln{|ax+b|} + C \quad (1)
\end{align}
$$

・$\displaystyle \int \frac{x}{ax+b} dx = \frac{x}{a} – \frac{b}{a^2} \ln{|ax+b|} + C$

$\displaystyle \frac{x}{ax+b}$は下記のように変形を行える。
$$
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\begin{align}
\frac{x}{ax+b} &= \frac{ax}{a(ax+b)} \\
&= \frac{(ax+b)-b}{a(ax+b)} \\
&= \frac{1}{a} – \frac{b}{a}\frac{1}{ax+b}
\end{align}
$$

上記と式$(1)$を用いることで下記のように導出できる。
$$
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\begin{align}
\int \frac{x}{ax+b} dx &= \int \left( \frac{1}{a} – \frac{b}{a}\frac{1}{ax+b} \right) dx \\
&= \int \frac{1}{a} dx – \frac{b}{a} \int \frac{1}{ax+b} dx \\
&= \frac{x}{a} – \frac{b}{a^2}\ln{|ax+b|} + C \quad (2)
\end{align}
$$

・$\displaystyle \int \frac{x^2}{ax+b} dx = \frac{1}{2a^3} (a^2x^2 – 2abx + 2b^2\ln{|ax+b|}) + C$

$(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2$であることを用いて、$\displaystyle \frac{x^2}{ax+b}$に関して下記のような変形を行うことができる。
$$
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\begin{align}
\frac{x^2}{ax+b} &= \frac{a^2x^2}{a^2(ax+b)} \\
&= \frac{(a^2x^2+2abx+b^2)-(2abx+b^2)}{a^2(ax+b)} \\
&= \frac{(a^2x^2+2abx+b^2)}{a^2(ax+b)} – \frac{2abx+b^2}{a^2(ax+b)} \\
&= \frac{(ax+b)^2}{a^2(ax+b)} – \frac{2b}{a} \cdot \frac{x}{ax+b} – \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{1}{ax+b} \\
&= \frac{(ax+b)}{a^2} – \frac{2b}{a} \cdot \frac{x}{ax+b} – \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{1}{ax+b}
\end{align}
$$

上記と$(1)$式、$(2)$式を用いることで下記のような導出を行える。
$$
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\begin{align}
\int \frac{x^2}{ax+b} dx &= \int \frac{(ax+b)}{a^2} dx – \frac{2b}{a} \int \frac{x}{ax+b} dx – \frac{b^2}{a^2} \int \frac{1}{ax+b} dx \\
&= \frac{1}{2a^2}(ax^2+2bx) – \frac{2b}{a} \left( \frac{x}{a} – \frac{b}{a^2}\ln{|ax+b|} \right) – \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{1}{a}\ln{|ax+b|} + C \\
&= \frac{1}{2a^3} \left[ a(ax^2+2bx) -4a^2b \left( \frac{x}{a} – \frac{b}{a^2}\ln{|ax+b|} \right) – 2b^2 \ln{|ax+b|} \right] + C \\
&= \frac{1}{2a^3} \left[ a^2x^2 + 2abx – 4abx +4b^2 \ln{|ax+b|} – 2b^2 \ln{|ax+b|} \right] + C \\
&= \frac{1}{2a^3} (a^2x^2 – 2abx + 2b^2\ln{|ax+b|}) + C \quad (3)
\end{align}
$$

・$\displaystyle \int \frac{1}{x(ax+b)} dx = -\frac{1}{b} \ln{ \left| \frac{ax+b}{x} \right|} + C$

$$
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\begin{align}
\frac{1}{x} – \frac{a}{ax+b} &= \frac{ax+b}{x(ax+b)} – \frac{ax}{x(ax+b)} \\
&= \frac{b}{x(ax+b)}
\end{align}
$$

上記の式が成立することより、$\displaystyle \frac{1}{x(ax+b)}$に関して下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\frac{1}{x(ax+b)} = \frac{1}{b} \left( \frac{1}{x} – \frac{a}{ax+b} \right)
\end{align}
$$

よって$\displaystyle \int \frac{1}{x(ax+b)} dx$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\int \frac{1}{x(ax+b)} dx &= \frac{1}{b} \int \left( \frac{1}{x} – \frac{a}{ax+b} \right) dx \\
&= \frac{1}{b} ( \ln{|x|} – \ln{|ax+b|} ) + C \\
&= -\frac{1}{b} \ln{ \left| \frac{ax+b}{x} \right|} + C
\end{align}
$$

・$\displaystyle \int \frac{1}{x^2(ax+b)} dx = \frac{a}{b^2} \ln{ \left| \frac{ax+b}{x} \right|} – \frac{1}{bx} + C$

$$
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\begin{align}
\frac{1}{x^2} – \frac{a}{x(ax+b)} &= \frac{ax+b}{x^2(ax+b)} – \frac{ax}{x^2(ax+b)} \\
&= \frac{b}{x^2(ax+b)}
\end{align}
$$

上記の式が成立することより、$\displaystyle \frac{1}{x^2(ax+b)}$に関して下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\frac{1}{x^2(ax+b)} = \frac{1}{b} \left( \frac{1}{x^2} – \frac{a}{x(ax+b)} \right)
\end{align}
$$

よって$\displaystyle \int \frac{1}{x^2(ax+b)} dx$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int \frac{1}{x^2(ax+b)} dx &= \frac{1}{b} \int \left( \frac{1}{x^2} – \frac{a}{x(ax+b)} \right) dx \\
&= \frac{1}{b} \left( -\frac{1}{x} + \frac{a}{b} \ln{ \left| \frac{ax+b}{x} \right|} \right) + C \\
&= \frac{a}{b^2} \ln{ \left| \frac{ax+b}{x} \right|} – \frac{1}{bx} + C
\end{align}
$$