逆行列を持つ行列を正則行列(regular matrix)といいます。正則行列はランクが行列の次数に一致し、有限個の基本行列の積に対応します。当記事では正則行列の定義・特徴と基本行列(elementary matrix)の逆行列について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$3.2$節「正則行列」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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正則行列と基本行列の逆行列
正則行列の定義・特徴
単位行列を$I$で定義する。行列$A$が正則であるとき、$XA=AX=I$が成立する$X$が存在する。よって正則行列の定義は「行列が逆行列を持つ」と理解すれば良い。行列$A$の逆行列は$A^{-1}$のように表すことが多い。
$A$が$n$次正則行列であるとき、「$\mathrm{rank} A = n$が成立」し、「行列$A$は有限個の基本行列の積に一致」する。
基本行列の逆行列
上記で定義した$3$つの基本行列$P_{ij}, P_{i}(c), P_{ij}(a)$の逆行列はそれぞれ下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
(P_{ij})^{-1} &= P_{ij} \quad (1) \\
(P_{i}(c))^{-1} &= P_{i} \left( \frac{1}{c} \right) \quad (2) \\
P_{ij}(a) &= P_{ij}(-a) \quad (3)
\end{align}
$$
$(3)$式が成立することは下記に基づいて示すことができる。
$$
\large
\begin{align}
P_{ij}(a)P_{ij}(-a) &= \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & a & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & -a & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & a-a & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & 0 & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right) = I_{n}
\end{align}
$$
$(1), (2)$式が成立することは「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の基本例題$045$で取り扱われているので次節で確認を行う。
具体例の確認
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$045$
・$(1)$の導出
$$
\begin{align}
& P_{ij}P_{ij} \\
&= \left(\begin{array}{ccccccccccc} 1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & & \\ & & & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 1 & & & \\ & & & \vdots & 1 & & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & & 1 & \vdots & & & \\ & & & 1 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & & & \\ & & & & & & & & 1 & & \\ & & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccccccccccc} 1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & & \\ & & & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 1 & & & \\ & & & \vdots & 1 & & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & & 1 & \vdots & & & \\ & & & 1 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & & & \\ & & & & & & & & 1 & & \\ & & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & & 1 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{ccccccccccc} 1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & & \\ & & & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & & & \\ & & & \vdots & 1 & & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & & 1 & \vdots & & & \\ & & & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & & & \\ & & & & & & & & 1 & & \\ & & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & & 1 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{ccccccccccc} 1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & & \\ & & & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & & & \\ & & & \vdots & 1 & & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & & 1 & \vdots & & & \\ & & & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & & & \\ & & & & & & & & 1 & & \\ & & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & & 1 \end{array} \right) = I_{n}
\end{align}
$$
・$(2)$の導出
$$
\large
\begin{align}
P_{i}(c) P_{i} \left( \frac{1}{c} \right) &= \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & c & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & \displaystyle \frac{1}{c} & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & \displaystyle c \cdot \frac{1}{c} & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right) = I_{n}
\end{align}
$$
