「データサイエンス 数学ストラテジスト 上級」はデータサイエンスの基盤である、確率・統計、線形代数、微積分、機械学習、プログラミングなどを取り扱う資格試験です。当記事では「日本数学検定協会」作成の「公式問題集」の演習問題$71$〜$80$の解答例を取り扱いました。
・数学検定まとめ
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Contents
演習問題
Q.71
「有効求人倍率＝有効求人数 $\div$ 有効求職者数」なので下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{3035+537}{2356+352} &= \frac{3572}{2708} \\
&= 1.319 \cdots
\end{align}
$$
よって$(4)$が正しい。
Q.72
期待効果の和はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
(1) \, 2+3+5 &= 10 \\
(2) \, 5+2+5 &= 12 \\
(3) \, 5+5+3 &= 13 \\
(4) \, 3+2+2 &= 7 \\
(5) \, 3+3+3 &= 9
\end{align}
$$
$(3)$の期待効果の和が最も大きいので$(3)$が正しい。
Q.73
下記のような計算を行うことで安全在庫を計算できる。
import numpy as np
sd = np.array([20., 12., 16.])
day = np.array([11., 15., 14.])
print(1.65*sd*np.sqrt(day))・実行結果
[ 109.44861808 76.68507025 98.77975501]よって$(1)$が正しい。
Q.74
需要曲線は商品の価格$q$が高くなるときに需要$q$が減少する曲線であるので、①、③、⑤は需要曲線ではない。また、需要$q$は$q>0$であるので⑥も需要曲線ではない。よって②、④が需要曲線になり得るので$(2)$が正しい。
Q.75
$$
\large
\begin{align}
\mathrm{PV} = \frac{C_1}{1+r} + \frac{C_2}{(1+r)^{2}} + \frac{C_3}{(1+r)^{3}} + \cdots + \frac{C_n}{(1+r)^{n}} + \cdots
\end{align}
$$
上記に$C_n=100, \, r=0.05$を代入すると等比数列の公式に基づいて下記のように$\mathrm{PV}$を計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\mathrm{PV} &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{100}{(1+0.05)^{i}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle 100 \cdot \frac{20}{21} \left[ 1 – \left( \frac{20}{21} \right)^{n} \right]}{\displaystyle 1 – \frac{20}{21}} \\
&= 100 \cdot \frac{20}{\cancel{21}} \cdot \cancel{21} = 2000
\end{align}
$$
よって$(2)$が正しい。
Q.76
$10^{4}=10{,}000$であるので$(3)$が正しい。
Q.77
製品$X, Y, Z$の製造コストはそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
X &: 4.5 \times 4 + 6 \times 2 + 5 \times 3 = 45 \\
Y &: 4.5 \times 6 + 6 \times 3 + 5 \times 1 = 50 \\
Z &: 4.5 \times 2 + 6 \times 4 + 5 \times 4 = 53
\end{align}
$$
よって$(2)$が正しい。
Q.78
$p=1000, p’=800, q=7000, q’=10000$なので需要の価格弾力性は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
-\frac{p}{q} \cdot \frac{q’-q}{p’-p} &= -\frac{1000}{7000} \cdot \frac{10000-7000}{800-1000} \\
&= \frac{1}{7} \cdot 15 = 2.14 \cdots
\end{align}
$$
上記より$(3)$が正しい。
Q.79
価格が$p$のときの利益を$f(p)$とおくと、$f(p)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
f(p) &= (p-400)(600-0.5p) \\
&= -0.5(p-400)(p-1200)
\end{align}
$$
上記は上に凸の二次関数であるので$x=800$のとき下記のような最大値$f(800)$を取る。
$$
\large
\begin{align}
f(800) &= -0.5 \cdot 400 \cdot -400 \\
&= 80000
\end{align}
$$
よって$(3)$が正しい。
Q.80
$U(x)=\log{x}$であるので、$U'(x), U^{”}(x)$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
U'(x) &= \frac{1}{x} \\
U^{”}(x) &= -\frac{1}{x^2}
\end{align}
$$
よって絶対的リスク回避係数$a(x)$と相対的リスク回避係数$\mu(x)$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
a(x) &= -\frac{U^{”}(x)}{U'(x)} = \frac{1}{x} \\
\mu(x) &= -\frac{xU^{”}(x)}{U'(x)} = 1
\end{align}
$$
よって$(1)$が正しい。