数学検定準1級 解説 〜公式問題集 解説&解答 Ch.3「積分法とその応用」〜

数学検定準$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 準$1$級」より、第$3$章の「積分法とその応用」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。

・数学検定まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_certificate

①不定積分、②不定積分の計算

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}}$は下記のように変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}} &= \frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x+5}+\sqrt{x})(\sqrt{x+5}-\sqrt{x})} \\
&= \frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{x}}{x+5-x} \\
&= \frac{1}{5}(\sqrt{x+5}-\sqrt{x})
\end{align}
$$

よって不定積分は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int \frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}} dx &= \frac{1}{5} \int (\sqrt{x+5}-\sqrt{x}) dx \\
&= \frac{1}{5} \left( \frac{2}{3}(x+5)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right) + C \\
&= \frac{2}{15} \left( \sqrt{(x+5)^{3}} + \sqrt{x^{3}} \right) + C
\end{align}
$$

・$[3]$
不定積分$\displaystyle \int \tan{x} dx$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int \tan{x} dx &= \int \frac{\sin{x}}{\cos{x}} dx \\
&= \int \frac{-(\cos{x})}{\cos{x}} dx \\
&= – \log{|\cos{x}|} + C
\end{align}
$$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

③定積分、④定積分の計算

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
下記のように定積分の計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} dx &= \int_{0}^{1} \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1} dx \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{2e^{2x}}{e^{2x}+1} dx \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{(e^{2x}+1)’}{e^{2x}+1} dx \\
&= \frac{1}{2} \left[ \log{|e^{2x}+1|} \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{1}{2} (\log{(e^{2}+1)} – \log{2}) \\
&= \frac{1}{2} \log{ \frac{e^{2}+1}{2} }
\end{align}
$$

・別解
$t=e^x$とおいて、置換積分を考えても計算できる。問題集に置換積分を用いた解法があるので計算の詳細は省略する。

・$[2]$
$x = \tan{\theta}$とおくと、$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{x}=1$の両辺を$\cos^{2}{\theta}$で割ることで$\displaystyle \tan^{2}{\theta}+1=\frac{1}{\cos^2{\theta}}$が導出できる。

このとき$\displaystyle \frac{dx}{d \theta}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dx}{d \theta} &= \left( \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \right)’ \\
&= \frac{\cos^{2}{\theta}-(-\sin^{2}{\theta})}{\cos^{2}{\theta}} \\
&= \frac{1}{\cos^{2}{\theta}}
\end{align}
$$

また、$x$と$\theta$の範囲は下記のように対応する。

$x$$1 \to \sqrt{3}$
$\theta$$\displaystyle \frac{\pi}{4} \to \frac{\pi}{3}$

よって定積分の計算は下記のように行える。
$$
\large
\begin{align}
\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1} dx &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\tan^{2}{\theta}+1} \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\theta}} d \theta \\
&= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cancel{\cos^{2}{\theta}}}{\cancel{\cos^{2}{\theta}}} d \theta \\
&= \left[ \theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \\
&= \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4} \\
&= \frac{\pi}{12}
\end{align}
$$

・$[3]$
$t=4-3x^2$とおくと、$\displaystyle \frac{dt}{dx}=-6x$より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
dx = -\frac{1}{6x} dt
\end{align}
$$

このとき、$x$と$t$の範囲は下記のように対応する。

$x$$0 \to 1$
$t$$\displaystyle 4 \to 1$

また、$t=4-3x^2$より$x^2$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
x^2 = \frac{1}{3}(4-t)
\end{align}
$$

よって定積分の計算は下記のように行える。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{4-3x^2} dx &= \int_{4}^{1} \frac{1}{3}(4-t) \cancel{x} \sqrt{t} -\frac{1}{6\cancel{x}} dt \\
&= \int_{1}^{4} \frac{1}{18}(4-t)\sqrt{t} dt \\
&= \frac{1}{18} \int_{1}^{4} (4t^{\frac{1}{2}}-t^{\frac{3}{2}}) dt \\
&= \frac{1}{18} \left[ \frac{8}{3}t^{\frac{3}{2}} – \frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}} \right]_{1}^{4} \\
&= \frac{1}{18} \left[ \left( \frac{2^6}{3} – \frac{2^6}{5} \right) – \left( \frac{8}{3} – \frac{2}{5} \right) \right] \\
&= \frac{1}{18} \cdot \frac{94}{15} = \frac{47}{135}
\end{align}
$$

・$[4]$
$x=2\sin{\theta}$とおくと、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} &= \frac{1}{\sqrt{4(1-\sin^{2}{\theta})}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{4\cos^{2}{\theta}}} \\
&= \frac{1}{2\cos{\theta}}
\end{align}
$$

このとき$\displaystyle \frac{dx}{d \theta}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dx}{d \theta} &= (2\sin{\theta})’ \\
&= 2 \cos{\theta}
\end{align}
$$

また、$x$と$\theta$の範囲は下記のように対応する。

$x$$0 \to 1$
$\theta$$\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{6}$

よって定積分の計算は下記のように行える。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2 \cos{\theta}} \cdot 2 \cos{\theta} d \theta \\
&= \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \\
&= \frac{\pi}{6}
\end{align}
$$

・$[6]$
部分積分法を用いることで下記のように定積分の計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{1}^{e} x^{3} \log{x} dx &= \frac{1}{4} \left[ x^{4} \log{x} dx \right]_{1}^{e} – \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{4} \cdot \frac{1}{x} dx \\
&= \frac{e^4}{4} – \frac{1}{16} \left[ x^{4} \right]_{1}^{e} \\
&= \frac{4e^4 – e^4 + 1}{16} = \frac{3e^4 + 1}{16}
\end{align}
$$

数理技能問題

問題.$1$

⑤定積分に関連した問題

計算技能問題

問題.$1$

問題.$2$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

⑥面積

計算技能問題

問題.$1$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

⑦体積、⑧曲線の長さと道のり

計算技能問題

問題.$1$

問題.$2$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$