数学検定準1級 解説 〜公式問題集 解説&解答 Ch.2「微分法とその応用」〜

数学検定準$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 準$1$級」より、第$2$章の「微分法とその応用」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。

・数学検定まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_certificate

①導関数、②微分法の公式、③種々の関数の導関数

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
y = (\sin{x})^{\sin{x}}
\end{align}
$$

上記の微分を行うにあたって両辺の対数を取ると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\log{y} &= \log{ \left( (\sin{x})^{\sin{x}} \right) } \\
&= \sin{x} \log{ \left( \sin{x} \right) }
\end{align}
$$

このとき両辺の微分は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d}{dx}\log{y} &= \frac{d}{dx} \left[ \sin{x} \log{ \left( \sin{x} \right) } \right] \\
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} &= \cos{x} \log{ \left( \sin{x} \right) } + \cancel{\sin{x}} \cdot \frac{(\sin{x})’}{\cancel{\sin{x}}} \\
&= \cos{x} \left[ \log{ \left( \sin{x} \right) } + 1 \right] \\
\frac{dy}{dx} &= y \cos{x} \left[ \log{ \left( \sin{x} \right) } + 1 \right] \\
&= (\sin{x})^{\sin{x}} \cos{x} \left[ \log{ \left( \sin{x} \right) } + 1 \right]
\end{align}
$$

・解説
この問題の計算にあたっては「対数微分法」の計算の流れを用いました。「対数微分法」の流れは抑えておくと良いと思います。対数微分法に関しては下記で詳しく取り扱いました。

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
y = \log_{x}{ |\log{x}| }
\end{align}
$$

上記に対して底の変換公式を用いると下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
y = \log_{x}{ |\log{x}| } = \frac{\log{|\log{x}|}}{\log{x}}
\end{align}
$$

「商の導関数の公式」などを用いることで上記の微分は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
y’ &= \frac{\displaystyle \frac{1}{\cancel{\log{x}}} \cdot \cancel{\log{x}} + \log{|\log{x}|} \cdot \frac{1}{x}}{(\log{x})^2} \\
&= \frac{1 – \log{|\log{x}|}}{x(\log{x})^2}
\end{align}
$$

問題.$2$

問題.$3$

数理技能問題

問題.$1$

$$
\large
\begin{align}
x &= e^{u} + u \\
y &= \frac{v^2}{2} – \log{v} \\
v + \log{v} &= e^{u} – u
\end{align}
$$

$(1)$式、$(2)$式より、$\displaystyle \frac{dx}{du}, \frac{dy}{dv}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dx}{du} &= e^{u} + 1 \\
\frac{dy}{dv} &= v – \frac{1}{v} \\
&= \frac{v^2-1}{v} = \frac{(v+1)(v-1)}{v}
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \frac{dy}{du} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dy}{du} &= \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \\
&= \frac{\cancel{(v+1)}(v-1)}{\cancel{v}} \cdot \frac{\cancel{v}(e^{u} – 1)}{\cancel{v+1}} \\
&= (v-1)(e^{u} – 1)
\end{align}
$$

よって、$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle \frac{dy}{du}}{\displaystyle \frac{dx}{du}}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{\displaystyle \frac{dy}{du}}{\displaystyle \frac{dx}{du}} \\
&= \frac{(v-1)(e^{u} – 1)}{e^{u} + 1}
\end{align}
$$

問題.$2$

④高次導関数、⑤平均値の定理、⑥関数の極値、⑦接線

計算技能問題

問題.$1$

$$
\large
\begin{align}
y = k x^{2} \log{x}
\end{align}
$$

上記の微分は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= k (2x) \log{x} + k x^{\cancel{2}} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} \\
&= kx (2 \log{x} + 1)
\end{align}
$$

$y = k x^{2} \log{x}$が$x=a$で$y=-x$に接するとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
k a^{2} \log{a} &= -a \\
ka (2 \log{a} + 1) &= -1
\end{align}
$$

上記を整理すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
ka \log{a} &= -1 \\
ka (2 \log{a} + 1) &= -1
\end{align}
$$

上記より$\log{a} = 2 \log{a} + 1$が成立するので$\displaystyle a = \frac{1}{e}$が得られる。よって、$k$の値は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
ke^{-1} \log{e^{-1}} &= -1 \\
ke^{-1} (-1) &= -1 \\
k &= e
\end{align}
$$

問題.$2$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
y = \log{(x+\sqrt{x^2+1})}
\end{align}
$$

「合成関数の導関数の公式」を用いることで$y’$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
y’ &= \frac{((x+\sqrt{x^2+1}))’}{(x+\sqrt{x^2+1})} \\
&= \frac{\displaystyle 1 + \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{x^2+1}}}{(x+\sqrt{x^2+1})} \\
&= \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}} \\
&= \frac{\cancel{x+\sqrt{x^2+1}}}{\cancel{(x+\sqrt{x^2+1})}\sqrt{x^2+1}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
\end{align}
$$

$y^{”}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
y^{”} &= \left( (x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \right)’ \\
&= -\frac{1}{2} (x^2+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x \\
&= -\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}
\end{align}
$$

よって$(x^2+1)y^{”} + xy’$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
(x^2+1)y^{”} + xy’ &= -\frac{x\cancel{(x^2+1)}}{\cancel{(x^2+1)}\sqrt{x^2+1}} + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\
&= -\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\
&= 0
\end{align}
$$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

⑧最大・最小、⑨方程式・不等式への応用

計算技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$