数学検定準$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 準$1$級」より、第$2$章の「微分法とその応用」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。
・数学検定まとめ
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①導関数、②微分法の公式、③種々の関数の導関数
計算技能問題
問題.$1$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
y = (\sin{x})^{\sin{x}}
\end{align}
$$
上記の微分を行うにあたって両辺の対数を取ると下記が得られる。
$$
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\begin{align}
\log{y} &= \log{ \left( (\sin{x})^{\sin{x}} \right) } \\
&= \sin{x} \log{ \left( \sin{x} \right) }
\end{align}
$$
このとき両辺の微分は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\frac{d}{dx}\log{y} &= \frac{d}{dx} \left[ \sin{x} \log{ \left( \sin{x} \right) } \right] \\
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} &= \cos{x} \log{ \left( \sin{x} \right) } + \cancel{\sin{x}} \cdot \frac{(\sin{x})’}{\cancel{\sin{x}}} \\
&= \cos{x} \left[ \log{ \left( \sin{x} \right) } + 1 \right] \\
\frac{dy}{dx} &= y \cos{x} \left[ \log{ \left( \sin{x} \right) } + 1 \right] \\
&= (\sin{x})^{\sin{x}} \cos{x} \left[ \log{ \left( \sin{x} \right) } + 1 \right]
\end{align}
$$
・解説
この問題の計算にあたっては「対数微分法」の計算の流れを用いました。「対数微分法」の流れは抑えておくと良いと思います。対数微分法に関しては下記で詳しく取り扱いました。
・$[2]$
$$
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\begin{align}
y = \log_{x}{ |\log{x}| }
\end{align}
$$
上記に対して底の変換公式を用いると下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
y = \log_{x}{ |\log{x}| } = \frac{\log{|\log{x}|}}{\log{x}}
\end{align}
$$
「商の導関数の公式」などを用いることで上記の微分は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
y’ &= \frac{\displaystyle \frac{1}{\cancel{\log{x}}} \cdot \cancel{\log{x}} + \log{|\log{x}|} \cdot \frac{1}{x}}{(\log{x})^2} \\
&= \frac{1 – \log{|\log{x}|}}{x(\log{x})^2}
\end{align}
$$
問題.$2$
$[1]$
$$
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\begin{align}
e^{x-y} = x + y
\end{align}
$$
上記の両辺を$x$で微分すると下記が得られる。
$$
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\begin{align}
\frac{d}{dx}e^{x-y} = \frac{d}{dx}(x + y) \\
e^{x-y} \cdot \left( 1-\frac{dy}{dx} \right) &= 1 + \frac{dy}{dx} \\
e^{x-y} – 1 &= \frac{dy}{dx}(e^{x-y}+1) \\
\frac{dy}{dx} &= \frac{e^{x-y} – 1}{e^{x-y}+1} \\
&= \frac{e^{x} – e^{y}}{e^{x} + e^{y}}
\end{align}
$$
$[2]$
$$
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\begin{align}
x &= t – \sin{t} \\
y &= 1 – \cos{t}
\end{align}
$$
上記に対し$\displaystyle \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}$は下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
\frac{dx}{dt} &= 1 – \cos{t} \\
\frac{dy}{dt} &= \sin{t}
\end{align}
$$
よって$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy/dt}{dx/dt} \\
&= \frac{\sin{t}}{1 – \cos{t}}
\end{align}
$$
問題.$3$
数理技能問題
問題.$1$
$$
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\begin{align}
x &= e^{u} + u \\
y &= \frac{v^2}{2} – \log{v} \\
v + \log{v} &= e^{u} – u
\end{align}
$$
$(1)$式、$(2)$式より、$\displaystyle \frac{dx}{du}, \frac{dy}{dv}$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\frac{dx}{du} &= e^{u} + 1 \\
\frac{dy}{dv} &= v – \frac{1}{v} \\
&= \frac{v^2-1}{v} = \frac{(v+1)(v-1)}{v}
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle \frac{dy}{du} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dy}{du} &= \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \\
&= \frac{\cancel{(v+1)}(v-1)}{\cancel{v}} \cdot \frac{\cancel{v}(e^{u} – 1)}{\cancel{v+1}} \\
&= (v-1)(e^{u} – 1)
\end{align}
$$
よって、$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle \frac{dy}{du}}{\displaystyle \frac{dx}{du}}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{\displaystyle \frac{dy}{du}}{\displaystyle \frac{dx}{du}} \\
&= \frac{(v-1)(e^{u} – 1)}{e^{u} + 1}
\end{align}
$$
問題.$2$
④高次導関数、⑤平均値の定理、⑥関数の極値、⑦接線
計算技能問題
問題.$1$
$$
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\begin{align}
y = k x^{2} \log{x}
\end{align}
$$
上記の微分は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= k (2x) \log{x} + k x^{\cancel{2}} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} \\
&= kx (2 \log{x} + 1)
\end{align}
$$
$y = k x^{2} \log{x}$が$x=a$で$y=-x$に接するとき、下記が成立する。
$$
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\begin{align}
k a^{2} \log{a} &= -a \\
ka (2 \log{a} + 1) &= -1
\end{align}
$$
上記を整理すると下記が得られる。
$$
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\begin{align}
ka \log{a} &= -1 \\
ka (2 \log{a} + 1) &= -1
\end{align}
$$
上記より$\log{a} = 2 \log{a} + 1$が成立するので$\displaystyle a = \frac{1}{e}$が得られる。よって、$k$の値は下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
ke^{-1} \log{e^{-1}} &= -1 \\
ke^{-1} (-1) &= -1 \\
k &= e
\end{align}
$$
問題.$2$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
y = \log{(x+\sqrt{x^2+1})}
\end{align}
$$
「合成関数の導関数の公式」を用いることで$y’$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
y’ &= \frac{((x+\sqrt{x^2+1}))’}{(x+\sqrt{x^2+1})} \\
&= \frac{\displaystyle 1 + \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{x^2+1}}}{(x+\sqrt{x^2+1})} \\
&= \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}} \\
&= \frac{\cancel{x+\sqrt{x^2+1}}}{\cancel{(x+\sqrt{x^2+1})}\sqrt{x^2+1}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
\end{align}
$$
$y^{”}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
y^{”} &= \left( (x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \right)’ \\
&= -\frac{1}{2} (x^2+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x \\
&= -\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}
\end{align}
$$
よって$(x^2+1)y^{”} + xy’$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
(x^2+1)y^{”} + xy’ &= -\frac{x\cancel{(x^2+1)}}{\cancel{(x^2+1)}\sqrt{x^2+1}} + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\
&= -\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\
&= 0
\end{align}
$$
数理技能問題
問題.$1$
問題.$2$
問題.$3$
問題.$4$
⑧最大・最小、⑨方程式・不等式への応用
計算技能問題
問題.$1$
$$
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\begin{align}
f(x) = a \log{x} – x
\end{align}
$$
上記の$x$についての微分は下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
f'(x) &= \frac{a}{x} – 1 \\
&= \frac{a-x}{x}
\end{align}
$$
$f(x)$の増減表は下記のように得られる。
$$
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\begin{array}{|c|*4{c|}}\hline x & 0 & \cdots & a & \cdots \\
\hline f'(x) & & + & 0 & – \\
\hline f(x) & & \nearrow & a(\log{a}-1) & \searrow \\
\hline
\end{array}
$$
以下、$g(a) = a(\log{a}-1)$を最小にする$a$を求める。$g(a)$の$a$に関する導関数$g'(a)$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
g'(x) &= \log{a}-1 + a \cdot \frac{1}{a} \\
&= \log{a}
\end{align}
$$
$g(a)$の増減表は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{array}{|c|*4{c|}}\hline a & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline f'(x) & & – & 0 & + \\
\hline f(x) & & \searrow & -1 & \nearrow \\
\hline
\end{array}
$$
よって$a=1$のとき$f(x)$の最大値が最小となる。
問題.$2$
船の水面に対する速さを$x$、一定距離を定数$L$、$L$進むにあたっての時間を$t$とそれぞれおく。このとき、燃料消費量を$f(x)$とおくと、$f(x)$は$x$の$3$乗に比例するので下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
f(x) = a x^3 t \quad (1)
\end{align}
$$
ここで$L, x, t, c$について下記の関係式が成立する。
$$
\large
\begin{align}
L &= (x-c)t \\
t &= \frac{L}{x-c} \quad (2)
\end{align}
$$
$(2)$を$(1)$に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
f(x) &= a x^3 t \quad (1) \\
&= aL \frac{x^3}{x-c} \quad (3)
\end{align}
$$
$(3)$式を$x$について微分すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
f'(x) &= aL \frac{3x^2(x-c) – x^3}{(x-c)^2} \\
&= aL \frac{x^2(2x-3c)}{(x-c)^2}
\end{align}
$$
上記より$f(x)$の増減表は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{array}{|c|*3{c|}}\hline x & \cdots & a & \cdots \\
\hline f'(x) & – & 0 & + \\
\hline f(x) & \searrow & \displaystyle \frac{3}{2}c & \nearrow \\
\hline
\end{array}
$$
増減表より、$\displaystyle x = \frac{3}{2}c$のとき使用燃料が最小となり経済的である。