数学検定準1級 解説 〜公式問題集 解説&解答 Ch.5「いろいろな曲線」〜

数学検定準$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 準$1$級」より、第$5$章の「いろいろな曲線」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。

・数学検定まとめ
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計算技能問題

問題.$1$

$$
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\begin{align}
\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a>0,b>0
\end{align}
$$

上記で表される双曲線の焦点は下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
(\pm c, 0) = (\pm \sqrt{a^2+b^2}, 0)
\end{align}
$$

ここで下記のように楕円の方程式を定める。
$$
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\begin{align}
\frac{x^2}{d^2} + \frac{y^2}{e^2} = 1, \quad d>0,e>0
\end{align}
$$

このとき楕円の焦点が双曲線の焦点に一致することより、$d>e$かつ$c=\sqrt{d^2-e^2}$が成立する。また、$2e = 2 \sqrt{2ab}$が成立する。よって、$d, e$は下記のように$a, b$で表せる。
$$
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\begin{align}
e &= \sqrt{2ab} \\
d^2 &= c^2 + e^2 \\
&= a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2
\end{align}
$$

したがって、下記の楕円の方程式が得られる。
$$
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\begin{align}
\frac{x^2}{(a+b)^2} + \frac{y^2}{2ab} = 1, \quad a>0,b>0
\end{align}
$$

数理技能問題

問題.$1$