数学検定準$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 準$1$級」より、第$4$章の「行列」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。
・数学検定まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_certificate
①行列とその演算、②逆行列、③連立$1$次方程式と行列
計算技能問題
問題.$1$
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right), \quad P = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$[1]$
$P$の逆行列$P^{-1}$は逆行列の公式より下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
P^{-1} = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
よって$P^{-1}AP$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
P^{-1}AP &= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$[2]$
$(P^{-1}AP)^{n}$は下記のように考えることができる。
$$
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\begin{align}
(P^{-1}AP)^{n} &= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)^{n} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3^n \end{array} \right) \\
(P^{-1}AP)^{n} &= P^{-1} A (PP^{-1}) A (PP^{-1}) \cdots (PP^{-1}) A P \\
&= P^{-1} A^{n} P
\end{align}
$$
よって$A^{n}$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
A^{n} &= P \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3^n \end{array} \right) P^{-1} \\
&= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3^n \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 3^{n}+1 & 3^{n}-1 \\ 3^{n}-1 & 3^{n}+1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・解説
$\displaystyle \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)$は$A$の固有値を並べた行列、$P$は$A$の固有ベクトルを並べた行列であることは合わせて抑えておくと良いと思います。
数理技能問題
問題.$1$
$$
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\begin{align}
X – X^{2} + X^{3} &= E \\
X^3 &= X^2 – X + E
\end{align}
$$
上記より$X^4$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
X^4 &= XX^3 = X(X^2 – X + E) \\
&= X^3 – X^2 + X \\
&= \cancel{X^2} – \cancel{X} + E – \cancel{X^2} + \cancel{X} = E
\end{align}
$$
また、$X+X^3=E+X^2$が成立することも確認できる。このとき$\displaystyle E + \sum_{k=1}^{4n-1} X^{k}$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
E + \sum_{k=1}^{4n-1} X^{k} &= E + X + X^2 + \cdots X^{4n-2} + X^{4n-1} \\
&= \sum_{l=0}^{n-1} (E+X+X^2+X^3) X^{4l} \\
&= \sum_{l=0}^{n-1} (E+X+X^2+X^3) E^{l} \\
&= n(E+X+X^2+X^3) \\
&= 2n(E+X^2)
\end{align}
$$
したがって$\displaystyle \sum_{k=1}^{4n-1} X^{k}$に関して下記が成立する。
$$
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\begin{align}
E + \sum_{k=1}^{4n-1} X^{k} &= 2n(E+X^2) \\
\sum_{k=1}^{4n-1} X^{k} &= (2n-1)E + 2n X^2
\end{align}
$$