当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$26$の「テイラーの公式と極値問題」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$26.1$
問題$26.2$
$[1]$
$f(x,y)=x^3+xy^2+2x^2+y^2$の偏微分$f_x, f_y$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
f_x &= 3x^2 + y^2 + 4x \quad (1) \\
f_y &= 2xy + 2y \quad (2)
\end{align}
$$
$(2)$式に基づいて$f_y=2y(x+1)=0$を解くと$x=-1,y=0$が得られる。ここで$x=-1$を$f_x=0$に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
f_x = 3 + y^2 – 4 &= 0 \\
y^2 &= 1 \\
y &= \pm 1
\end{align}
$$
また、$y=0$を$f_x=0$に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
f_x = 3x^2 + y^2 + 4x &= 0 \\
x(3x+4) &= 0 \\
x &= 0, \, -\frac{4}{3}
\end{align}
$$
$[2]$