当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$1$の「基礎事項ア・ラ・カルト」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
共役複素数の性質
$\alpha=a+bi, \beta=c+di$に関して下記が成立する。
・$[1] \,$ $\alpha$が実数 $\, \iff \,$ $\alpha=\bar{\alpha}$
・$[2] \,$ $\overline{\alpha \pm \beta} = \bar{\alpha} \pm \bar{\beta}$
・$[3] \,$ $\overline{\alpha \beta} = \bar{\alpha} \bar{\beta}$
・$[4] \,$ $\overline{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}}$
・$[5] \,$ $\alpha \bar{\alpha} = a^2+b^2 = |\alpha|^2$
演習問題解答
問題$1.1$
下記のようにそれぞれ示すことができる。
・$[1]$
$\alpha$が実数のとき、$\alpha=a+bi=a$より$b=0$であり、$\bar{\alpha}=a-bi=a$である。よって$\alpha$が実数 $\, \iff \,$ $\alpha=\bar{\alpha}$が成立する。
・$[2]$
下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\overline{\alpha \pm \beta} &= \overline{(a+bi) \pm (c+di)} \\
&= \overline{(a \pm c) + (b \pm d)i} \\
&= (a \pm c) – (b \pm d)i \\
\bar{\alpha} \pm \bar{\beta} &= (a-bi) \pm (c-di) \\
&= (a \pm c) – (b \pm d)i
\end{align}
$$
上記より$\overline{\alpha \pm \beta} = \bar{\alpha} \pm \bar{\beta}$が示される。
・$[3]$
下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\overline{\alpha \beta} &= \overline{(a+bi)(c+di)} \\
&= \overline{ac+bdi^2+(ad+bc)i} \\
&= \overline{ac-bd+(ad+bc)i} = ac-bd-(ad+bc)i \\
\bar{\alpha} \bar{\beta} &= (a-bi)(c-di) \\
&= ac+bdi^2-(ad+bc)i = ac-bd-(ad+bc)i
\end{align}
$$
上記より$\overline{\alpha \beta} = \bar{\alpha} \bar{\beta}$が示される。
・$[4]$
下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)} &= \overline{\left(\frac{a+bi}{c+di}\right)} \\
&= \overline{\left(\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\right)} \\
&= \overline{\left(\frac{ac+bdi^2-(ad-bc)i}{c^2-d^2i^2}\right)} \\
&= \overline{\left(\frac{ac-bd-(ad-bc)i}{c^2+d^2}\right)} \\
&= \frac{ac-bd+(ad-bc)i}{c^2+d^2} \\
\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}} &= \frac{a-bi}{c-di} \\
&= \frac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)} \\
&= \frac{ac+bd+(ac-bd)i}{(c^2+d^2}
\end{align}
$$
上記より$\displaystyle \overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)} = \frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}}$が示される。
・$[5]$
下記のような計算が行える。
$$
\large
\begin{align}
\alpha \bar{\alpha} &= (a+bi)(a-bi) \\
&= a^2 – b^2i^2 \\
&= a^2 + b^2
\end{align}
$$