当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$23$の「対称行列の固有値と固有ベクトル」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
対称行列の固有値・固有ベクトルの性質
問題$23.1$で使用するので、$23.1$節、P.$144$の「対称行列の固有値・固有ベクトルの性質」の内容を以下にまとめる。
$p$次の正方行列$A$の固有値$\lambda_i$に関して下記が成立する。
$(1) \,$ 対称行列の固有値は全て実数である。
$(2) \,$ 対称行列の相異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する
演習問題解答
問題$23.1$
$$
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\begin{align}
A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の行列$A$に対し、固有方程式$\det(\lambda I_3 – A)=0$は下記のように解くことができる。
$$
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\begin{align}
\det(\lambda I_3 – A) &= \left| \begin{array}{ccc} \lambda-1 & 0 & -2 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -2 & 0 & \lambda-1 \end{array} \right| \\
&= (\lambda-1) \cdot (-1)^{2+2} \cdot \left| \begin{array}{cc} \lambda-1 & -2 \\ -2 & \lambda-1 \end{array} \right| \\
&= (\lambda-1)[(\lambda-1)^2 – (-2)^2] = 0 \\
(\lambda-1)[(\lambda-1)^2 – 2^2] &= 0 \\
(\lambda-1)(\lambda-1+2)(\lambda-1-2) &= 0 \\
(\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda-3) &= 0 \\
\lambda &= -1, \, 1 ,\ 3
\end{align}
$$
以下、上記で得られたそれぞれの固有値に対し、長さ$1$の固有ベクトル$\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$の計算を行う。
・$\lambda=-1$
$$
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\begin{align}
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= -\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \\
\left(\begin{array}{c} x+2z \\ y \\ 2x+z \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} -x \\ -y \\ -z \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より$x=-z, y=0$が得られるので、$\lambda_1=-1$に対応する長さ$1$の固有ベクトル$\mathbf{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$\lambda_2=1$
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \\
\left(\begin{array}{c} x+2z \\ y \\ 2x+z \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より$x=z=0$が得られるので、$\lambda_2=1$に対応する長さ$1$の固有ベクトル$\mathbf{v}_{2}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v}_{2} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$\lambda_3=3$
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= -\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \\
\left(\begin{array}{c} x+2z \\ y \\ 2x+z \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} 3x \\ 3y \\ 3z \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より$x=z, y=0$が得られるので、$\lambda_3=3$に対応する長さ$1$の固有ベクトル$\mathbf{v}_{3}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
ここまでの導出結果に対し、$\lambda = -1, \, 1 ,\ 3$が全て実数で、固有ベクトル$\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}$に対してそれぞれ内積を取ると$0$に一致することが確認できる。
よって行列$A$に対してP.$144$でまとめられた「対称行列の固有値・固有ベクトルの性質」が成立することが確認できる。