Ch.12 「数値積分」の演習問題の解答例 〜統計学のための数学入門30講(朝倉書店)〜

当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$12$の「数値積分」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat

本章のまとめ

台形公式

台形公式に基づいて関数$f(x)$の区間$[a,b]$における定積分の近似は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{a}^{b} f(x) dx & \simeq \frac{b-a}{2n} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + \cdots y_{n-1}) + y_n] \\
y_k &= f(x_k) \\
x_k &= a + \frac{k(b-a)}{n}, \quad k=0, 1, \cdots , n
\end{align}
$$

上記は微小区間$[x_k,x_{k+1}]$の面積$S_k$を下記のように「底辺×高さ÷$2$」の台形の面積で近似することに基づいて表される。
$$
\large
\begin{align}
S_k & \simeq \frac{1}{2} \cdot \frac{b-a}{n} (y_k+y_{k+1}) \\
&= \frac{b-a}{2n} (y_k+y_{k+1})
\end{align}
$$

また、上記では微小区間$\Delta$が$\displaystyle \Delta = \frac{b-a}{n}$のように表される。この式は$b-a$の区間を$n$等分したと考えることで理解できる。

シンプソンの公式

演習問題解答

問題$12.1$

・$[1]$

・$[2]$

・$[3]$

・$[4]$

問題$12.2$

・$[1]$
台形公式を用いることで$\displaystyle \int_{0}^{2} x^4 dx$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{2} x^4 dx &= \frac{2-0}{2 \cdot 4} (f(0)+f(2) + 2(f(0.5)+f(1)+f(1.5))) \\
&= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (0^4 + 2^4 + 2(0.5^4 + 1^4 + 1.5^4) \\
&= \frac{113}{16} = 7.0625
\end{align}
$$

・$[2]$
シンプソンの公式を用いることで$\displaystyle \int_{0}^{2} x^4 dx$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{2} x^4 dx &= \frac{2-0}{6 \cdot 2} (f(0)+f(2) + 4(f(0.5)+f(1.5)) + 2f(1)) \\
&= \frac{1}{6} (0^4 + 2^4 + 4(0.5^4 + 1.5^4) + 2 \cdot 1^4) \\
&= \frac{77}{12} \simeq 6.4167
\end{align}
$$