当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$13$の「ガンマ関数とベータ関数」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$13.1$
・$[1]$
下記のように計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{2} \frac{1}{x^2} dx &= \left[ -\frac{1}{x} \right]_{0}^{2} \\
&= -\left( \frac{1}{2} – 1 \right) \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
$$
・$[2]$
$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx$は下記のように計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx &= \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{x^2} dx \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\varepsilon}^{1} \\
&= \lim_{\varepsilon \to +0} \left( -\frac{1}{1} + \frac{1}{\varepsilon} \right) \\
&= \infty
\end{align}
$$
上記より、広義積分$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx$は発散する。