余因子展開(cofactor expansion)の概要とその使用例の確認

余因子展開(cofactor expansion)は行列式の次元を下げる際に用いられる考え方で、次元の大きな行列の行列式の計算や特に固有値の計算の際に行列の基本変形と合わせて用いると役に立ちます。当記事では余因子展開の概要と使用例に関して取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$4$章「行列式」と第$8$章「固有値問題と行列の対角化」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

余因子展開の概要

小行列式・余因子の定義

$n$次正方行列の$A$の$i$行目と$j$列目を取り去って構成する$n-1$次の正方行列の行列式を行列$A$の$(i,j)$小行列式という。以下、行列$A$の$(i,j)$小行列式を$m_{ij}$とおき、具体的に確認を行う。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 5 \\ 4 & 1 & 3 \\ 7 & 1 & -1 \end{array} \right) \quad (1)
\end{align}
$$

上記のように定めた$3$次正方行列$A$に関して、$(1,1)$小行列式、$(1,2)$小行列式、$(2,3)$小行列式はそれぞれ下記のように計算できる。
・$(1,1)$小行列式
$$
\large
\begin{align}
m_{11} &= \left| \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{array} \right| \\
&= 1 \cdot (-1) – 1 \cdot 1 \\
&= -4
\end{align}
$$

・$(1,2)$小行列式
$$
\large
\begin{align}
m_{12} &= \left| \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 7 & -1 \end{array} \right| \\
&= 4 \cdot (-1) – 7 \cdot (-1) \\
&= -4 + 7 = 3
\end{align}
$$

・$(2,3)$小行列式
$$
\large
\begin{align}
m_{23} &= \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 7 & 1 \end{array} \right| \\
&= 2 \cdot 1 – 7 \cdot 1 \\
&= -5
\end{align}
$$

小行列式の演習は「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の「基本例題$068$」でも取り扱われているので、演習を行う場合は合わせて取り組むと良い。また、行列$A$の$(i,j)$余因子を$\tilde{a}_{ij}$とおくと、$\tilde{a}_{ij}$は$m_{ij}$を用いて下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} m_{ij}
\end{align}
$$

$(1)$で定義した$A$に対して$\tilde{a}_{11}, \tilde{a}_{12}, \tilde{a}_{23}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\tilde{a}_{11} &= (-1)^{1+1} m_{11} \\
&= -4 \\
\tilde{a}_{12} &= (-1)^{1+2} m_{12} \\
&= -3 \\
\tilde{a}_{23} &= (-1)^{2+3} m_{23} \\
&= 5
\end{align}
$$

余因子の演習は「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の「基本例題$069$」でも取り扱われているので、演習を行う場合は合わせて取り組むと良い。

余因子展開の概要

$n$次正方行列$A = (a_{ij})$の$(i,j)$余因子を$\tilde{a}_{ij}$とおく場合、$A$の行列式$\det(A)$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\det(A) &= a_{i1} \tilde{a}_{i1} + \cdots a_{in} \tilde{a}_{in} \\
&= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \tilde{a}_{ik}
\end{align}
$$

上記を$i$行目における余因子展開という。同様に$j$列目における余因子展開は下記のように定められる。
$$
\large
\begin{align}
\det(A) &= a_{1j} \tilde{a}_{1j} + \cdots a_{nj} \tilde{a}_{nj} \\
&= \sum_{l=1}^{n} a_{lj} \tilde{a}_{lj}
\end{align}
$$

余因子展開の導出

「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の「基本例題$070$」を確認するとわかりやすい。

余因子展開の使用例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$071$

$$
\large
\begin{align}
\left| \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 5 & 0 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & -1 \\ 6 & 2 & 0 & 3 \end{array} \right|
\end{align}
$$

上記を$2$列目で余因子展開すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
& \left| \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 5 & 0 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & -1 \\ 6 & 2 & 0 & 3 \end{array} \right| \\
&= 1 \cdot (-1)^{1+2} \left| \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 6 & 0 & 3 \end{array} \right| + 3 \cdot (-1)^{3+2} \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \\ 6 & 0 & 3 \end{array} \right| + 2 \cdot (-1)^{4+2} \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \end{array} \right| \quad (2)
\end{align}
$$

上記の第$1$項〜第$3$項の行列式はそれぞれ下記のように計算できる。
・第$1$項
$$
\large
\begin{align}
\left| \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 6 & 0 & 3 \end{array} \right| &= \left| \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 4-5/2 \\ 1 & 2 & -1-1/2 \\ 6 & 0 & 3-6/3 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 3/2 \\ 1 & 2 & -3/2 \\ 6 & 0 & 0 \end{array} \right| \\
&= 6 \cdot (-1)^{3+1} \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3/2 \\ 2 & -3/2 \end{array} \right| \\
&= 6(-3-3) \\
&= -36 \quad (3)
\end{align}
$$

・第$2$項
$$
\large
\begin{align}
\left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \\ 6 & 0 & 3 \end{array} \right| &= \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1-2/2 \\ 5 & 2 & 4-5/2 \\ 6 & 0 & 3-6/2 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 3/2 \\ 6 & 0 & 0 \end{array} \right| \\
&= 6 \cdot (-1)^{3+1} \left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 \\ 2 & 3/2 \end{array} \right| \\
&= 6 \cdot \frac{9}{2} \\
&= 27 \quad (4)
\end{align}
$$

・第$3$項
$$
\large
\begin{align}
\left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \end{array} \right| &= \left| \begin{array}{ccc} 2+1 & 3+2 & 1+(-1) \\ 5+4 & 2+4 \cdot 2 & 4+4 \cdot (-1) \\ 1 & 2 & -1 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 3 & 5 & 0 \\ 9 & 10 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{array} \right| \\
&= -1 \cdot (-1)^{3+3} \left| \begin{array}{ccc} 3 & 5 \\ 9 & 10 \end{array} \right| \\
&= -1 \cdot (3 \cdot 10 – 9 \cdot 5) \\
&= -1 \cdot -15 = 15 \quad (5)
\end{align}
$$

$(3)$〜$(5)$を$(2)$式に代入することで下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
& \left| \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 5 & 0 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & -1 \\ 6 & 2 & 0 & 3 \end{array} \right| \\
&= 1 \cdot (-1)^{1+2} \left| \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 6 & 0 & 3 \end{array} \right| + 3 \cdot (-1)^{3+2} \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \\ 6 & 0 & 3 \end{array} \right| + 2 \cdot (-1)^{4+2} \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \end{array} \right| \quad (2) \\
&= (-1) \cdot (-36) + (-3) \cdot 27 + 2 \cdot 15 = 15
\end{align}
$$

基本例題$154.(2)$の固有値計算部分

$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記で定めた行列$A$に関して固有方程式$\det(tI_3-A)=0$を解くことを考える。$\det(tI_3-A)$は下記のように表し、変形することができる。
$$
\large
\begin{align}
\det(tI_3-A) &= \left| \begin{array}{ccc} t-3 & -1 & -1 \\ -2 & t-4 & -2 \\ -1 & -1 & t-3 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} t-3+(t-3)(-1) & -1+(t-3)(-1) & -1+(t-3)^2 \\ -2+(-2)(-1) & t-4+(-2)(-1) & -2+(-2)(t-3) \\ -1 & -1 & t-3 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 0 & -t+2 & (t-3+1)(t-3-1) \\ 0 & t-2 & -2t+4 \\ -1 & -1 & t-3 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 0 & -(t-2) & (t-2)(t-4) \\ 0 & t-2 & -2(t-2) \\ -1 & -1 & t-3 \end{array} \right| \\
&= -1 \cdot (-1)^{3+1} \left| \begin{array}{cc} -(t-2) & (t-2)(t-4) \\ t-2 & -2(t-2) \end{array} \right| \\
&= -(t-2)^2 \left| \begin{array}{cc} -1 & t-4 \\ 1 & -2 \end{array} \right| \\
&= -(t-2)^2 (2-(t-4)) \\
&= (t-2)^2(t-6)
\end{align}
$$

よって行列$A$の固有値は$t=2,6$である。