当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$20$の「行列式」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$20.1$
問題$20.2$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の行列$A$の行列式$\det{A}=|A|$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\det{A} &= |A| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right| \\
&= -2 \cdot (-1)^{2+1} \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right| \\
&= 2 \cdot 1 = 2
\end{align}
$$
次に行列$A$の余因子行列を$\Delta$とおくと、$\Delta$は下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
\Delta &= \left( \begin{array}{ccc} \Delta_{11} & \Delta_{21} & \Delta_{31} \\ \Delta_{12} & \Delta_{22} & \Delta_{32} \\ \Delta_{13} & \Delta_{23} & \Delta_{33} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} (-1)^{1+1} \cdot 0 & (-1)^{2+1} \cdot 1 & (-1)^{3+1} \cdot 0 \\ (-1)^{1+2} \cdot (-2) & (-1)^{2+2} \cdot 1 & (-1)^{3+2} \cdot 0 \\ (-1)^{1+3} \cdot (-2) & (-1)^{2+3} \cdot 1 & (-1)^{3+3} \cdot 2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$
また、$(20.22)$式より逆行列$A^{-1}$は下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
A^{-1} = \frac{1}{|A|} \Delta = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$