当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$28$の「重積分」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$28.1$
・$[1]$
$f(x,y)=x^2+y^2, \, D=[0,1] \times [2,3]$のとき、下記のように重積分を計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} f(x,y) dx dy &= \int_{2}^{3} \int_{0}^{1} (x^2+y^2) dx dy \\
&= \int_{2}^{3} \left[ \frac{1}{3} x^3 + y^2 x \right]_{x=0}^{x=1} dy \\
&= \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{3} + y^2 \right) dy \\
&= \left[ \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} y^3 \right]_{2}^{3} \\
&= \left( \frac{3}{3} + \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{2}{3} + \frac{2^3}{3} \right) \\
&= \frac{3+27-2-8}{3} = \frac{20}{3}
\end{align}
$$
・$[2]$
$f(x,y) = x e^{-y}, \, D=[0,1] \times [2,3]$のとき、下記のように重積分を計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} f(x,y) dx dy &= \int \int_{D} x e^{-y} dx dy \\
&= \int_{0}^{1} x dx \cdot \int_{2}^{3} e^{-y} dx \\
&= \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{1} \cdot \left[ -e^{-y} \right]_{2}^{3} \\
&= \frac{1}{2} \cdot (-e^{-3} – e^{-2}) \\
&= \frac{1}{2} (e^{-2} – e^{-3})
\end{align}
$$
問題$28.2$
$D=\{ (x,y) | x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1 \}$は$0 \leq x \leq 1$で$0 \leq y \leq 1-x$を考えることで下記のように積分を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} f(x,y) \, dx dy &= \int \int_{D} xy \, dx dy \\
&= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} xy \, dy dx \\
&= \int_{0}^{1} \left[ \frac{1}{2}xy^2 \right]_{y=0}^{y=1-x} dy \\
&= \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x(1-x)^2 dy \\
&= \int_{0}^{1} \frac{1}{2}(x^3-2x^2+x) dy \\
&= \left[ \frac{1}{8}x^4 – \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^2 \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{1}{8} – \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1}{24}
\end{align}
$$