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当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$19$の「行列のランク」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat

統計学のための数学入門30講 (科学のことばとしての数学)

靖, 永田

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本章のまとめ

演習問題解答

問題$19.1$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記に対し、$A^{\mathrm{T}}$を下記のように定める。
$$
\large
\begin{align}
A^{\mathrm{T}} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記では$\mathbf{a}_{2} = 2 \mathbf{a}_{1}$が成立するので、$\mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}})=1$であり、$M(A^{\mathrm{T}})$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
M(A^{\mathrm{T}}) = \left\{ y : y=c_1 \mathbf{a}_{1} = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} c_1 \\ -c_1 \\ 2c_1 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$

また、$\dim{M(A^{\mathrm{T}})}=1$であり、$M(A^{\mathrm{T}})$は$\mathbb{R}^{3}$で原点を通る$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right)$に平行な直線である。

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記に対し、$A^{\mathrm{T}}$を下記のように定める。
$$
\large
\begin{align}
A^{\mathrm{T}} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 3 & 3 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記では$\mathbf{a}_{2} \neq c \mathbf{a}_{1}$であるので、$\mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}})=2$であり、$M(A^{\mathrm{T}})$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
M(A^{\mathrm{T}}) = \left\{ y : y=c_1 \mathbf{a}_{1} + c_2 \mathbf{a}_{2} = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) + c_2 \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} c_1+2c_2 \\ c_1-c_2 \\ 3c_1+3c_2 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$

また、$\dim{M(A^{\mathrm{T}})}=2$であり、$M(A^{\mathrm{T}})$は$\mathbb{R}^{3}$で原点を通る$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$と$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right)$が張る平面である。

問題$19.2$

当記事では「統計学を学ぶにあたって最低限抑えておきたい数学」の中から「確率・期待値」に関して取り扱います。確率・期待値は統計学を学ぶにあたっての主要トピックである確率分布を取り扱うにあたって必須の内容なので、一通り理解しておくと良いと思います。
取りまとめにあたっては数学の解説に関してはなるべくシンプルに取り扱いますが、統計学への応用に関連した複雑な内容に関しては目次に「*」をつけました。「*」がついているものはやや難しいので、読み飛ばしても問題ありません。

・基本数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

確率

確率の定義

全事象$U$の事象の起こる確率がどれも「同様に確からしい」場合、全事象$U$の場合の数を$n(U)$、事象$A$の場合の数を$n(A)$とおく。このとき事象$A$が起こる確率$P(A)$は下記のように定義できる。
$$
\large
\begin{align}
P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}
\end{align}
$$

和の法則

条件付き確率

期待値

「確率」の統計学への応用

確率分布

当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$7$の「関数の展開」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat

統計学のための数学入門30講 (科学のことばとしての数学)

靖, 永田

3,190円(05/15 22:37時点)

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本章のまとめ

演習問題解答

問題$7.1$

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x+a} = (x+a)^{-1}$の導関数は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
f'(x) &= -(x+a)^{-2} \\
f^{”}(x) &= 2!(x+a)^{-3} \\
f^{(3)}(x) &= -3!(x+a)^{-4} \\
f^{(4)}(x) &= 4!(x+a)^{-5} \\
f^{(5)}(x) &= -5!(x+a)^{-6} \\
& \vdots
\end{align}
$$

よって$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x+a} = (x+a)^{-1}$のテイラー展開は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
f(x) &= f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f^{”}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 \cdots \\
&= a^{-1} + \frac{-a^{-2}}{1!}x + \frac{2!a^{-3}}{2!}x^2 + \frac{-3!a^{-4}}{3!}x^3 \cdots \\
&= \frac{1}{a} – \frac{1}{a^2}x + \frac{1}{a^3}x^2 – \frac{1}{a^4}x^3 \cdots , \quad |x|<|a|
\end{align}
$$

問題$7.2$

下記のような結果が得られる。

詳しい計算やグラフの描画は下記を実行することで行うことができる。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([0.5, 0.3, 0.1, 0.05, 0.01, 0.])
a = 1.
f_x = np.zeros([6,4])

f_x[:,0] = 1/(x+a)

f_x[:,1] = 1/a - x/a**2
f_x[:,2] = 1/a - x/a**2 + x**2/a**3
f_x[:,3] = 1/a - x/a**2 + x**2/a**3 - x**3/a**4

print(f_x)

label_line = ["origin", "2nd_order", "3rd_order", "4th_order"]

for i in range(f_x.shape[1]):
    plt.plot(x, f_x[:,i], label=label_line[i])

plt.legend()
plt.show()

・実行結果

[[ 0.66666667  0.5         0.75        0.625     ]
 [ 0.76923077  0.7         0.79        0.763     ]
 [ 0.90909091  0.9         0.91        0.909     ]
 [ 0.95238095  0.95        0.9525      0.952375  ]
 [ 0.99009901  0.99        0.9901      0.990099  ]]