ド・モアブルの定理(de Moivre’s theorem)の導出と適用例の確認

複素数平面や極形式を考えるにあたってよく出てくるのが極形式の累乗に関するド・モアブルの定理(de Moivre’s theorem)です。当記事では三角関数の加法定理を用いる方法と複素指数関数を用いる方法の$2$通りの方法でド・モアブルの定理の導出と適用例の確認に関して取り扱いました。

・数学まとめ
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前提知識の確認

複素数平面

極形式

複素数$z=x+yi$の絶対値を$r$とおくと、$r$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
z = \sqrt{x^2+y^2}
\end{align}
$$

ここで、複素平面の偏角を$\theta$とおくとき、$z=x+yi$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
z = x+yi = r(\cos{\theta} + i \sin{\theta})
\end{align}
$$

上記を$z$の極形式という。

極形式の積

$$
\large
\begin{align}
z_1 &= r_1(\cos{\theta_1} + i \sin{\theta_1}) \\
z_2 &= r_2(\cos{\theta_2} + i \sin{\theta_2})
\end{align}
$$

上記のように極形式$z_1, z_2$を定めると、極形式の積$z_1 z_2$は下記のように変形することができる。
$$
\large
\begin{align}
z_1 z_2 &= r_1(\cos{\theta_1} + i \sin{\theta_1}) \times r_2(\cos{\theta_2} + i \sin{\theta_2}) \\
&= r_1 r_2 (\cos{\theta_1}\cos{\theta_2} + i^2\sin{\theta_1}\sin{\theta_2} + i(\sin{\theta_1}\cos{\theta_2})+\cos{\theta_1}\sin{\theta_2}) \\
&= r_1 r_2 (\cos{(\theta_1+\theta_2)} + i \sin{(\theta_1+\theta_2)})
\end{align}
$$

複素数の和・差と複素数平面

オイラーの公式

$$
\large
\begin{align}
e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}
\end{align}
$$

上記の式をオイラーの公式という。

ド・モアブルの定理

加法定理を用いた導出

前節の「極形式の積」より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
(\cos{\theta_1} + i \sin{\theta_1})(\cos{\theta_2} + i \sin{\theta_2}) = \cos{(\theta_1+\theta_2)} + i \sin{(\theta_1+\theta_2)}
\end{align}
$$

$(\cos{\theta} + i \sin{\theta})^n$に上記を$n$回適用することで下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
(\cos{\theta} + i \sin{\theta})^n = \cos{n \theta} + i \sin{n \theta}
\end{align}
$$

上記がド・モアブルの定理である。

オイラーの公式と複素指数関数を用いた導出

前節で取り扱った「オイラーの公式」より$(\cos{\theta} + i \sin{\theta})^n$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
(\cos{\theta} + i \sin{\theta})^n = ( e^{i \theta} )^n
\end{align}
$$

上記に対して$( e^{i \theta} )^n = e^{i n \theta}$が成立するので、$(\cos{\theta} + i \sin{\theta})^n$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
(\cos{\theta} + i \sin{\theta})^n &= ( e^{i \theta} )^n \\
&= e^{i n \theta} \\
&= \cos{n \theta} + i \sin{n \theta}
\end{align}
$$

上記はド・モアブルの定理に一致する。

ド・モアブルの定理の活用例