ワイブル分布(Weibul distribution)の定義と期待値・分散・瞬間故障率の計算

ワイブル分布(Weibul distribution)は瞬間故障率の変化を表す際によく用いられる分布であり、瞬間故障率が一定である指数分布の拡張であると考えることもできる。当記事ではワイブル分布の定義や、期待値・分散・瞬間故障率などの導出に関して取り扱った。
「基礎統計学Ⅰ 統計学入門(東京大学出版会)」の6.13節の「ワイブル分布」や「統計学実践ワークブック」の19章の「回帰分析その他」を参考に作成を行なった。

ワイブル分布の定義とその理解

ワイブル分布の定義

パラメータ$\lambda, p$のワイブル分布(Weibul distribution)の確率密度関数を$f(t)$とおくと、定義域$t \geq 0$における$f(t)$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
f(t) = \lambda p (\lambda t)^{p-1} e^{-(\lambda t)^p}, \quad t \geq 0
\end{align}
$$

上記は「統計学実践ワークブック」の定義であるが、「基礎統計学Ⅰ 統計学入門(東京大学出版会)」では$\displaystyle a = \frac{1}{\lambda}, b=p$と置き換えることで下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
f(t) &= \lambda p (\lambda t)^{p-1} e^{-(\lambda t)^p} \\
&= \frac{b}{a} \times \frac{t^{p-1}}{a^{p-1}} \exp \left( -\frac{t^{b}}{a^{b}} \right) \\
&= \frac{b t^{p-1}}{a^{p}} \exp \left[ – \left( \frac{t^{b}}{a^{b}} \right)^{p} \right], \quad t \geq 0
\end{align}
$$

ワイブル分布と指数分布

ワイブル分布は指数分布の拡張であるので、逆に指数分布はワイブル分布の一例に相当する。このことは前項で確認した確率密度関数$f(t)$に対し、$p=1$を代入することで確認できる。
$$
\large
\begin{align}
f(t) &= \lambda p (\lambda t)^{p-1} e^{-(\lambda t)^p} \\
&= \lambda \times 1 \times (\lambda t)^{1-1} e^{-(\lambda t)^1} \\
&= \lambda e^{-\lambda t}
\end{align}
$$

上記が指数分布の確率密度関数の式に一致する。よって、指数分布はワイブル分布を考えた際に$p=1$となる確率分布であるということが確認できる。

微分方程式を用いた指数分布・ワイブル分布の確率密度関数の導出

累積分布関数$F(t)$や確率密度関数$f(t)$はハザード関数$h(t)$に関する下記の微分方程式を$F(0)=0$の条件下で解くことで導出することができる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d}{dx} (\log{(1-F(x))}) = -h(x)
\end{align}
$$

上記の詳しい導出は「統計学ワークブック19章のまとめ」の「ハザード関数と微分方程式」で取り扱った。

指数分布の方が取り扱いやすいので以下、「指数分布」、「ワイブル分布」の順に導出の確認を行う。

・指数分布
指数分布におけるハザード関数は$h(t)=\lambda$のように表される。このとき微分方程式$\displaystyle \frac{d}{dx} (\log{(1-F(x))}) = -h(x)$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d}{dx} (\log{(1-F(x))}) &= -h(x) \\
\log{(1-F(x))} &= – \int h(x) dx \\
\log{(1-F(x))} &= – \int \lambda dx \\
\log{(1-F(x))} &= – \lambda x + C
\end{align}
$$

上記に対し$x=0, F(0)=0$を代入すると積分定数$C$に関して下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\log{(1-F(x))} &= – \lambda x + C \\
\log{(1-0)} &= – \lambda \times 0 + C \\
C &= 0
\end{align}
$$

よって、$\log{(1-F(x))} = – \lambda x$のように表すことができ、この式に基づいて$F(x)$と$f(x)$は下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
\log{(1-F(x))} &= – \lambda x \\
1 – F(x) &= e^{-\lambda x} \\
F(x) &= 1 – e^{-\lambda x} \\
f(x) &= \frac{d}{dx} F(x) \\
&= \lambda e^{-\lambda x}
\end{align}
$$

上記は指数分布の累積分布関数と確率密度関数の式に一致する。

・ワイブル分布
ワイブル分布におけるハザード関数は$h(t)=\lambda p (\lambda t)^{p-1}$のように表される。このとき微分方程式$\displaystyle \frac{d}{dx} (\log{(1-F(x))}) = -h(x)$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d}{dx} (\log{(1-F(x))}) &= -h(x) \\
\log{(1-F(x))} &= – \int h(x) dx \\
\log{(1-F(x))} &= – \int \lambda p (\lambda x)^{p-1} dx \\
\log{(1-F(x))} &= – \frac{1}{p} \lambda^{p} p x^{p} + C \\
&= -(\lambda x)^{p} + C
\end{align}
$$

上記に対し$x=0, F(0)=0$を代入すると積分定数$C$に関して下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\log{(1-F(x))} &= -(\lambda x)^{p}+ C \\
\log{(1-0)} &= – 0 + C \\
C &= 0
\end{align}
$$

よって、$\log{(1-F(x))} = -(\lambda x)^{p}$のように表すことができ、この式に基づいて$F(x)$と$f(x)$は下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
\log{(1-F(x))} &= -(\lambda x)^{p} \\
1 – F(x) &= e^{-(\lambda x)^{p}} \\
F(x) &= 1 – e^{-(\lambda x)^{p}} \\
f(x) &= \frac{d}{dx} F(x) \\
&= – e^{-(\lambda x)^{p}} \times (-p(\lambda x)^{p-1}) \times \lambda \\
&= \lambda p (\lambda x)^{p-1} e^{-(\lambda x)^{p}}
\end{align}
$$

上記はワイブル分布の累積分布関数と確率密度関数の式に一致する。

・参考

ワイブル分布の期待値・分散・瞬間故障率の計算

ワイブル分布の期待値$E[X]$の計算

ワイブル分布の期待値$E[X]$は確率密度関数$f(x)$を用いて下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \int_{0}^{\infty} x \times f(x) dx \\
&= \int_{0}^{\infty} x \times \lambda p (\lambda x)^{p-1} e^{-(\lambda x)^p} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} p (\lambda x)^{p} e^{-(\lambda x)^p} dx \quad (1)
\end{align}
$$

上記の積分に対し、$u = (\lambda x)^{p}$を定め変数変換を行うことを考える。$u = (\lambda x)^{p}$を$x$について解き$u$で微分を行うと下記がそれぞれ得られる。
$$
\large
\begin{align}
(\lambda x)^{p} &= u \\
\lambda x &= u^{\frac{1}{p}} \\
x &= \frac{u^{\frac{1}{p}}}{\lambda} \quad (2) \\
\frac{dx}{du} &= \frac{d}{du} \left( \frac{u^{\frac{1}{p}}}{\lambda} \right) \\
&= \frac{u^{\frac{1}{p}-1}}{p \lambda} \quad (3)
\end{align}
$$

$(2)$式、$(3)$式を元に$(1)$式は下記のように変数変換できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \int_{0}^{\infty} p (\lambda x)^{p} e^{-(\lambda x)^p} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} p u e^{-u} \times \frac{u^{\frac{1}{p}-1}}{p \lambda} du \\
&= \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\infty} u^{1+\frac{1}{p}-1} e^{-u} du = \frac{1}{\lambda} \Gamma \left( 1+\frac{1}{p} \right) \quad (4)
\end{align}
$$

上記の変形にあたっては下記のガンマ関数$\Gamma(a)$の定義を用いた。
$$
\large
\begin{align}
\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} x^{a-1} e^{-x} dx
\end{align}
$$

・参考
ガンマ分布
https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/gamma_distribution1.html
変数変換
https://www.hello-statisticians.com/practice/stat_practice15.html

ワイブル分布の分散$V[X]$の計算

分散$V[X]$の計算にあたっては$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$を元に考えることで前項の$(4)$式の結果を活用することができる。以下、$E[X^2]$の導出の確認を行う。
$$
\large
\begin{align}
E[X^2] &= \int_{0}^{\infty} x^2 \times f(x) dx \\
&= \int_{0}^{\infty} x^2 \times \lambda p (\lambda x)^{p-1} e^{-(\lambda x)^p} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} p (\lambda x)^{p} x e^{-(\lambda x)^p} dx \quad (5)
\end{align}
$$

上記の積分に対し、前項と同様に$u = (\lambda x)^{p}$を定め変数変換を行うことを考える。前項で導出を行なった$(2)$式、$(3)$式を元に$(5)$式は下記のように変数変換できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \int_{0}^{\infty} p (\lambda x)^{p} x e^{-(\lambda x)^p} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} p u \frac{u^{\frac{1}{p}}}{\lambda} e^{-u} \times \frac{u^{\frac{1}{p}-1}}{p \lambda} du \\
&= \frac{1}{\lambda^2} \int_{0}^{\infty} u^{1+\frac{2}{p}-1} e^{-u} du = \frac{1}{\lambda^2} \Gamma \left( 1+\frac{2}{p} \right)
\end{align}
$$

$(4)$式、$(6)$式に基づいて$V[X]$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
V[X] &= E[X^2] – E[X]^2 \\
&= \frac{1}{\lambda^2} \Gamma \left( 1+\frac{2}{p} \right) – \left( \frac{1}{\lambda} \Gamma \left( 1+\frac{1}{p} \right) \right)^2 \\
&= \frac{1}{\lambda^2} \left[ \Gamma \left( 1+\frac{2}{p} \right) – \Gamma \left( 1+\frac{1}{p} \right)^2 \right]
\end{align}
$$

・参考
期待値、分散の公式
https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/expectation-variance-covariance.html
ガンマ分布
https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/gamma_distribution1.html
変数変換
https://www.hello-statisticians.com/practice/stat_practice15.html

ワイブル分布の瞬間故障率$h(t)$の計算

$$
\large
\begin{align}
f(t) = \lambda p (\lambda t)^{p-1} e^{-(\lambda t)^p}, \quad t \geq 0
\end{align}
$$
上記で表したワイブル分布の確率密度関数$f(t)$を元に、累積分布関数$F(t)$、生存関数$S(t)$、ハザード関数$h(t)$を導出する。なお、ハザード関数は瞬間故障率と呼ばれることもある。

・累積分布関数$F(t)$
$$
\large
\begin{align}
F(t) &= \int_{0}^{t} f(x) dx \\
&= \int_{0}^{t} \lambda p (\lambda x)^{p-1} e^{-(\lambda x)^p} dx \\
&= \int_{0}^{t} \frac{d}{dx} \left( – e^{-(\lambda x)^p} \right) dx \\
&= \left[ – e^{-(\lambda x)^p} \right]_{0}^{t} \\
&= 1 – e^{-(\lambda t)^p}
\end{align}
$$

・生存関数$S(t)$
$$
\large
\begin{align}
S(t) &= 1 – F(t) \\
&= 1 – (1 – e^{-(\lambda t)^p}) \\
&= e^{-(\lambda t)^p}
\end{align}
$$

・ハザード関数、瞬間故障率$h(t)$
$$
\large
\begin{align}
h(t) &= \frac{f(t)}{S(t)} \\
&= \frac{\lambda p (\lambda t)^{p-1} e^{-(\lambda t)^p}}{e^{-(\lambda t)^p}} \\
&= \lambda p (\lambda t)^{p-1}
\end{align}
$$

ハザード関数$h(t)$の解釈にあたっては、まず$p=1$のとき$h(t)=\lambda$となり、指数関数のハザード関数と一致することは抑えておくと良い。また、ハザード関数が$t$の増加に伴い増大するか減少するかを確認することで機械の劣化による故障率の増加を表すことができる。

ここで$h(t) = \lambda p (\lambda t)^{p-1}$の関数は、$p>1$であれば$t$の増加に伴い$h(t)$が増大し、$p<1$であれば$t$の増加に伴い$h(t)$が減少することが関数を確認することでわかる。

「$t$の増加に伴い$h(t)$が増大すること」をIFR(Increasing Failure Rate)、「$t$の増加に伴い$h(t)$が減少すること」をDFR(Decreasing Failure Rate)ということも合わせて抑えておくと良い。

参考

・統計学実践ワークブック19章: 回帰分析その他
・赤本 章末課題6.6: 指数分布の瞬間故障率
・統計検定 1級 理工学 出題問題

「ワイブル分布(Weibul distribution)の定義と期待値・分散・瞬間故障率の計算」への2件のフィードバック

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