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「統計検定$2$級 公式問題集 CBT対応版」の解答例を取りまとめるにあたって、当記事では「PART.$2$ 分野・項目別 問題・解説」のCategory.$3$「データ収集」の解答例を作成しました。解答例は「統計の森」オリジナルのコンテンツであり、統計検定の公式とは一切関係ないことにご注意ください。

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解答例

Q.1

Ⅰ 母集団に対応する全ての搭乗客に対して無作為に$200$名抽出し調査を行ったので「単純無作為抽出法」である。
Ⅱ 母集団に対応する全ての搭乗客を「重複しないグループ」に分け、それぞれの層から無作為に標本抽出し調査を行ったので「層化抽出法」である。
Ⅲ 母集団に対応する全ての搭乗客に対し「重複のないグループ」に分け、グループ単位で無作為に抽出し調査を行ったので「集落抽出法」である。

上記より、正解は④である。

Q.2

標本に対し、何らかの「介入」を行うのが「実験研究」、「介入」を行わないのが「観察研究」である。
A 費用に関する調査であり、「介入」を行っていないので「観察研究」
B 被験者に対して治療法を適用する「介入」を行ったので「実験研究」
C 被験者に対して「介入」は行っていないので「観察研究」

よって④が正解である。

Q.3

Ⅰ 「無作為化」により制御できない要因を偶然誤差に転化できるので正しい。
Ⅱ 臨床試験では個体差があるので多くの被験者に対して調査が必要であり、多くの被験者に対する調査も「繰り返し」であると見なされるので正しくない。
Ⅲ 「局所管理」は実験条件をできる限り均一に保つように管理されたブロックに実験を分けることを意味するので正しくない。

上記より。正解は①である。

Q.4

標本調査の際の「標本誤差」は「標本の取り方によって偶然に生じる誤差」であり、「非標本誤差」は「誤回答や未回答などに起因する誤差」である。①が標本の取り方に起因する誤差であるので、①が正解である。

参考

・【統計検定$2$級対応】統計学入門まとめ
https://www.hello-statisticians.com/stat_basic

「統計検定$2$級 公式問題集 CBT対応版」の解答例を取りまとめるにあたって、当記事では「PART.$2$ 分野・項目別 問題・解説」のCategory.$2$「$2$変数記述統計」の解答例を作成しました。解答例は「統計の森」オリジナルのコンテンツであり、統計検定の公式とは一切関係ないことにご注意ください。

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解答例

Q.1

$8$〜$10$にサンプルがあることから、①か③に絞られ、$10$〜$12$に多数サンプルがあることから③が正しいことが確認できる。

Q.2

散布図の目盛りを確認することで④が正しいことが確認できる。

Q.3

相関係数$r$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
r &= \frac{133.1}{\sqrt{236.6 \times 170.1}} \\
&= 0.66 \cdots
\end{align}
$$

相関係数$r=0.66$に対応する図を選べば良いので①が正解である。

Q.4

Ⅰ 真ん中のグラフより正しいことが確認できる
Ⅱ 右側のグラフより正しいことが確認できる
Ⅲ 左側のグラフより正の相関があることが確認できるので正しくない

よって、正解は④である。

Q.5

国語の得点を$X$、数学の得点を$Y$、国語の標準偏差を$\sigma_X$、数学の標準偏差を$\sigma_Y$、共分散を$\sigma_{XY}$、相関係数を$\rho_{XY}$とおく。このとき、下記より$\sigma_{XY}$の計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
\rho_{XY} &= \frac{\sigma_{XY}}{\sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}} \\
\sigma_{XY} &= \rho_{XY} \sigma_{X} \sigma_{Y} \\
&= 0.72 \times 12.5 \times 16.4 = 147.6
\end{align}
$$

よって②が正解である。

Q.6

⑤が正しい。④は「強い負の相関」ではないので正しくない。この問題は「切断効果」の事例であると考えることができる。

参考

・【統計検定$2$級対応】統計学入門まとめ
https://www.hello-statisticians.com/stat_basic

「統計検定$2$級 公式問題集 CBT対応版」の解答例を取りまとめるにあたって、当記事では「PART.$2$ 分野・項目別 問題・解説」のCategory.$1$「$1$変数記述統計」の解答例を作成しました。解答例は「統計の森」オリジナルのコンテンツであり、統計検定の公式とは一切関係ないことにご注意ください。

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解答例

Q.1

相対度数表の定義より、それぞれ下記のように計算できる。
ア)
$$
\large
\begin{align}
100 – (85.1+2.1) = 12.8
\end{align}
$$

イ)
$$
\large
\begin{align}
100 – (76.6+17.0+2.1) = 4.3
\end{align}
$$

よって、正解は⑤である。

Q.2

累積相対度数を考えればよい。

上記より、正解は①である。

Q.3

東京の箱ひげ図には$16$〜$18$度のサンプルが$2$つあるが、$(A)$のみが対応する。よって正解は①である。

Q.4

① 最高得点は$90$点であるので×
② 最低得点は$40$点であるので×
③ 正しい
④ 上位$20$％の最低得点は$78$点であるので×
⑤ 最頻値は$58$点であるので×

上記より正解は③である。

Q.5

Ⅰ 傾向変動は長期の動きであるが、常に直線であるとは限らないので×
Ⅱ 正しい
Ⅲ 不規則変動は傾向変動と季節変動以外の変動を指すので、予測が困難な偶然運動も含むので×

上記より正解は②である。

Q.6

平均変化率$r$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
102.6 \left( 1+\frac{r}{100} \right)^3 &= 105.6 \\
1+\frac{r}{100} &= \left( \frac{105.6}{102.6} \right)^{\frac{1}{3}} \\
r &= 100 \left[ \left( \frac{105.6}{102.6} \right)^{\frac{1}{3}} – 1 \right]
\end{align}
$$

上記より正解は④である。

Q.7

$\overline{F}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\overline{F} &= 1.8 \overline{C} + 32 \\
&= 1.8 \times 2.4 + 32 \\
&= 36.32
\end{align}
$$

また、$s_F$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
s_F &= \sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{17}((1.8C_i+32)-(1.8\overline{C}-32))^2} \\
&= \sqrt{\frac{1.8^2}{16} \sum_{i=1}^{17}(C_i-\overline{C})^2} \\
&= \sqrt{1.8^2 \times 7^2} \\
&= 1.8 \times 7 \\
&= 12.6
\end{align}
$$

上記より正解は④である。

Q.8

累積相対度数は下記を実行することで作成できる。

import numpy as np

x = np.array([[5.4, 10.7, 16.3, 24.1, 43.5], [5.1, 10.3, 15.4, 22.7, 46.4], [8.7, 14.3, 17.8, 23.0, 36.2], [5.2, 9.8, 14.9, 22.3, 47.9], [8.4, 13.1, 17.2, 22.7, 38.6]])
print(np.cumsum(x,axis=1))

・実行結果

array([[   5.4,   16.1,   32.4,   56.5,  100. ],
       [   5.1,   15.4,   30.8,   53.5,   99.9],
       [   8.7,   23. ,   40.8,   63.8,  100. ],
       [   5.2,   15. ,   29.9,   52.2,  100.1],
       [   8.4,   21.5,   38.7,   61.4,  100. ]])

また、ローレンツ曲線は下記を実行することで得られる。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([[5.4, 10.7, 16.3, 24.1, 43.5], [5.1, 10.3, 15.4, 22.7, 46.4], [8.7, 14.3, 17.8, 23.0, 36.2], [5.2, 9.8, 14.9, 22.3, 47.9], [8.4, 13.1, 17.2, 22.7, 38.6]])
x_cum = np.zeros([x.shape[0],x.shape[0]+1])
x_cum[:,1:] = np.cumsum(x,axis=1)

nation_label = ["JPN", "USA", "SWE", "CHN", "DEU"]
for i in range(x_cum.shape[0]):
    plt.plot(np.arange(6),x_cum[i,:],label=nation_label[i])

plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

・実行結果

上記より、下記のように考えることができる。
Ⅰ 完全平等線は$(0,0)$と$(5,100)$を通る直線なので、いずれの国のローレンツ曲線も完全平等線の下に弧を描く。よって正しい。
Ⅱ ジニ係数は完全平等線とローレンツ曲線の間の面積に対応するので、アメリカ＞日本＞ドイツである。よって正しくない。
Ⅲ 中国のローレンツ曲線はスウェーデンのローレンツ曲線の下を通る。よって正しい。

したがって、正解は⑤である。

Q.9

$12n$か月ごとに正の相関と$12n+6$か月ごとに負の相関があることから正解は②である。ACFはAuto Correlatino Functionの略であり、自己相関係数に対応することは抑えておくと良い。

Q.10

基準年の第$i$財の価格を$p_{0i}$、購入数量を$q_{0i}$、対象年の第$i$財の価格を$p_{ti}$、購入数量を$q_{ti}$とおく。このとき「対象年に基準年と同じ購入量を購入した場合の総購入金額の比率」を表すラスパイレス価格指数$L_{t}$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
L_{t} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} p_{ti} q_{0i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} p_{0i} q_{0i}} \times 100
\end{align}
$$

上記の定義に対応するのが②であるので、正解は②である。また、計算結果は$107.6$であり、平均価格が上昇したと考えることができる。

・考察
ラスパイレス指数は「価格の調査は標本抽出を元に行うことができコストがそれほどかからないが、数量調査は全数調査が必要でありコストがかかる」ことから、広く用いられることが多いと抑えておくと良いです。

参考

・【統計検定$2$級対応】統計学入門まとめ
https://www.hello-statisticians.com/stat_basic

「統計検定$2$級 公式問題集 CBT対応版」の解答例を取りまとめるにあたって、当記事では「PART.$2$ 分野・項目別 問題・解説」のCategory.$6$「標本分布」の解答例を作成しました。解答例は「統計の森」オリジナルのコンテンツであり、統計検定の公式とは一切関係ないことにご注意ください。

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解答例

Q.1

標本比率の確率変数$\hat{p}$に関して$\displaystyle \hat{p} \sim \mathcal{N} \left( p, \frac{p(1-p)}{n} \right)$が成立することから、確率変数$Z$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
Z = \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \quad (1)
\end{align}
$$

よって、$p$の$95$％区間に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
z_{\alpha=0.975} \leq & Z \leq z_{\alpha=0.025} \\
-1.96 \leq & \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \leq 1.96 \\
-1.96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leq & \hat{p}-p \leq 1.96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\
-1.96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leq & p-\hat{p} \leq 1.96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\
\hat{p} – 1.96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leq & p \leq \hat{p} + 1.96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \quad (2)
\end{align}
$$

$(1), (2)$より③が正解である。

Q.2

標本$(X_1, X_2)$の実現値、$\overline{X}$の値、それぞれの確率は下記のように表せる。

上記より中央値$5.0$、最頻値$5.0$であるので③が正しい。

Q.3

$B$の重さの推定量を$\hat{b}$とおくと、$\hat{b}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\hat{b} &= \frac{X-Y}{2} \\
&= b + \frac{\varepsilon_{1} – \varepsilon_{2}}{2}
\end{align}
$$

ここで$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$がそれぞれ独立であることから$V[\hat{b}]$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
V[\hat{b}] &= V \left[ b + \frac{\varepsilon_{1} – \varepsilon_{2}}{2} \right] \\
&= \frac{1}{4} (V[\varepsilon_{1}] + V[\varepsilon_{2}]) \\
&= \frac{1}{4} (\sigma^2 + \sigma^2) = \frac{\sigma^2}{2}
\end{align}
$$

よって正解は③である。

Q.4

Ⅰ. $X \sim \mathcal{N}(0,\sigma_1^2), Y \sim \mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
E[U] &= E[X+Y] = E[X]+E[Y] = 0 \\
E[V] &= E[X-Y] = E[X]-E[Y] = 0
\end{align}
$$

よって、$U$と$V$の平均は等しい。

Ⅱ. 共分散$\mathrm{Cov}(U,V)$は下記のように式変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\mathrm{Cov}(U,V) &= E[UV] – E[U]E[V] \\
&= E[(X+Y)(X-Y)] \\
&= E[X^2] – E[Y^2] = \sigma_1^2 – \sigma_2^2
\end{align}
$$

上記が$0$の時のみ$U,V$は互いに独立であるので、$U,V$が独立なのは$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$の時に限る。

Ⅲ. $E[U]=E[V]=0, V[U]=V[V]=\sigma_1^2+\sigma_2^2$より、$\sigma_1^2, \sigma_2^2$の値によらず$U$と$V$は同じ分布に従う。

上記より⑤が正解である。

Q.5

母分散未知の場合の母平均の取り扱いであるので、$\displaystyle T = \frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{S^2/9}}$は自由度$8$の$t$分布に従う。また、$P(T \geq 1.86)$に対応する確率は$t$分布の表より$0.05$であることが確認できる。よって③が正解である。

Q.6

$X_1, X_2, X_3$が標準化されていることから、$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=0, V[X_1]=V[X_2]=V[X_3]=1$が成立する。このとき$X_1$と$Y$の相関係数を$r_{X_1,Y}$とおくと、$r_{X_1,Y}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
r_{X_1,Y} &= \frac{\mathrm{Cov}(X_1,Y)}{\sqrt{V[X_1]V[Y]}} \\
&= \frac{E[X_1Y]-E[X_1]E[Y]}{\sqrt{V[Y]}} \\
&= \frac{E[X_1Y]}{\sqrt{V[Y]}} \\
&= \frac{E[X_1^2 + X_1X_2 + X_1X_3]}{3 \sqrt{V[Y]}} \\
&= \frac{E[X_1^2] + E[X_1X_2] + E[X_1X_3]}{3 \sqrt{V[Y]}}
\end{align}
$$

ここで$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=0, V[X_1]=V[X_2]=V[X_3]=1, r_{X_1,X_2}=r_{X_1,X_3}=0.5$より、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
E[X_1^2] &= V[X_1]+E[X_1]^2 = 1 \\
E[X_1X_2] &= 0.5 \sqrt{V[X_1]V[X_2]} + E[X_1]E[X_2] \\
&= 0.5 \\
E[X_1X_2] &= 0.5 \sqrt{V[X_1]V[X_2]} + E[X_1]E[X_2] \\
&= 0.5 \\
V[Y] &= V \left[ \frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3) \right] \\
&= \frac{1}{9} V[X_1+X_2+X_3] \\
&= \frac{1}{9} (3V[X_1] + 6 \mathrm{Cov}(X_1,X_2)) \\
&= \frac{1}{9} (3 + 6 (E[X_1X_2] – E[X_1]E[X_2])) \\
&= \frac{3 + 6 \times 0.5}{9} \\
&= \frac{2}{3}
\end{align}
$$

よって$r_{X_1,Y}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
r_{X_1,Y} &= \frac{E[X_1^2] + E[X_1X_2] + E[X_1X_3]}{3 \sqrt{V[Y]}} \\
&= \frac{1+0.5+0.5}{3 \sqrt{2/3}} \\
&= \sqrt{\frac{2}{3}} = 0.816 \cdots
\end{align}
$$

よって⑤が正解である。

Q.7

$E[X]=\mu, V[X]=\sigma^2$のとき、$\sigma^2=V[X]=E[(X-E[X])^2]$に基づいて下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\sigma^2 &= V[X] = E[(X-E[X])^2] \\
&= E[(X^2 – 2XE[X] + E[X]^2)] \\
&= E[X^2] – E[X]^2 = E[X^2] – \mu^2
\end{align}
$$

上記より、$E[X^2] = \mu^2 + \sigma^2$が成立するので③が正解である。

Q.8

ア)
自由度$5$の$t$分布に従う。

イ)
自由度$(5,1)$の$F$分布に従う。

ウ)
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}=2.571$を解いて$\alpha=0.151 \cdots$が得られる。

上記より⑤が正しい。

参考

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解答例

Q.1

$$
\large
\begin{align}
f(x) &= a \left( 1 – \frac{x}{20} \right) \quad (0 \leq x \leq 20) \\
&= 0 \qquad (\mathrm{Otherwise})
\end{align}
$$

上記の$f(x)$が確率密度関数であるので、$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$が成立しなくてはならない。よって、下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= \int_{0}^{20} a \left( 1 – \frac{x}{20} \right) dx \\
&= a \left[ x – \frac{x^2}{40} \right]_{0}^{20} \\
&= a \left( 20 – \frac{20^2}{40} \right) \\
&= a (20 – 10) \\
&= 10a = 1 \\
a &= \frac{1}{10}
\end{align}
$$

上記より$\displaystyle a = \frac{1}{10}$の④が正しい。

Q.2

$X \sim \mathcal{N}(2,3^2)$より、$P(-1 < X \geq 4)$は$Z \sim \mathcal{N}(0,1)$である$Z$を用いて下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
P(-1 < X \geq 4) &= P \left( \frac{-1-2}{3} < \frac{X-2}{3} \geq \frac{4-2}{3} \right) \\
&= P \left( -1 < Z \geq \frac{2}{3} \right) \\
&= 1 – 0.1587 – \left( \frac{1}{3} \cdot 0.2546 + \frac{2}{3} \cdot 0.2514 \right) \\
&= 1 – 0.1587 – 0.252 \\
&= 0.589
\end{align}
$$

上記より$0.59$の⑤が正しい。

Q.3

確率密度関数$f(x)$は上記のように図示できる。ここで水道料金は$0 \leq x \leq 10$で$1,000$円、$10 \leq x \leq 15$で$1,120$円、$15 \leq x \leq 20$で$1,280$円であるので、期待値$E[X]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \int_{0}^{10} 1000 f(x) dx + \int_{0}^{10} 1120 f(x) dx + \int_{0}^{10} 1280 f(x) dx \\
&= 1000 \left( \frac{20 \cdot 0.1}{2} – \frac{10 \cdot 0.05}{2} \right) + 1120 \left( \frac{10 \cdot 0.05}{2}-\frac{5 \cdot 0.025}{2} \right) + 1280 \cdot \frac{5 \cdot 0.025}{2} \\
&= 1000 \times \frac{3}{4} + 1120 \times \frac{3}{16} + 1280 \times \frac{1}{16} \\
&= 750 + 70 \times 3 + 80 \\
&= 1040
\end{align}
$$

上記より②が正解である。

・考察
確率密度関数に基づく三角形の面積が$\displaystyle 1:\frac{1}{4}:\frac{1}{16}$であることに着目すると計算しやすい。

Q.4

標本比率$\hat{p}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\hat{p} \sim \mathcal{N} \left( p,\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} \right)
\end{align}
$$

よって$Z \sim \mathcal{N}(0,1)$である確率変数$Z$を用いて$P(|\hat{p}-p| \leq 0.1)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
P(|\hat{p}-p| \leq 0.1) &= P(-0.1 \leq \hat{p}-p \leq 0.1) \\
&= P \left( -\frac{0.1}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}} \leq \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}} \leq \frac{0.1}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}} \right) \\
&= P \left( -\frac{0.1}{\sqrt{0.54(1-0.54)/100}} \leq Z \leq \frac{0.1}{\sqrt{0.54(1-0.54)/100}} \right) \\
& \simeq P( -2.01 \leq Z \leq 2.01) \\
& \simeq 1 – 2 \times 0.0222 = 0.9556
\end{align}
$$

上記より正解は⑤である。

Q.5

$2$以下の目が出る確率を$p$とおくと、$X \sim \mathrm{Bin}(7,p)$より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
P(X=x) &= {}_{7} C_{x} p^{x} (1-p)^{7-x} \\
P(X=x+1) &= {}_{7} C_{x} p^{x+1} (1-p)^{6-x}
\end{align}
$$

このとき$\displaystyle \frac{P(X=x+1)}{P(X=x)}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{P(X=x+1)}{P(X=x)} &= \frac{{}_{7} C_{x} p^{x+1} (1-p)^{6-x}}{{}_{7} C_{x} p^{x} (1-p)^{7-x}} \\
&= \frac{7!}{(x+1)!(6-x)!} \times \frac{x!(7-x)!}{7!} \times \frac{p}{1-p} \\
&= \frac{7-x}{x+1} \times \frac{p}{1-p}
\end{align}
$$

上記に$\displaystyle p = \frac{1}{3}$を代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{P(X=x+1)}{P(X=x)} &= \frac{7-x}{x+1} \times \frac{p}{1-p} \\
&= \frac{7-x}{x+1} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} \\
&= \frac{-x+7}{2x+2}
\end{align}
$$

上記より②が正解である。

Q.6

Ⅰ 右に裾の長い分布では歪度は正の値であり、左に裾が長い分布では歪度は負の値であるので×

Ⅱ 尖度は中心部の尖り具合の指標であるので×

Ⅲ 自由度が大きいほど尖度の絶対値は小さくなり、$n \to \infty$で正規分布に収束するので×

上記より正解は⑤である。

Q.7

$X \sim \mathcal{N}(4000,500^2), Y \sim \mathcal{N}(4000,500^2)$のとき、$X-Y \sim \mathcal{N}(0,2 \cdot 500^2)$が成立する。よって確率$P(X-Y \geq 800)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
P(X-Y \geq 800) &= P \left( Z \geq \frac{800}{500 \sqrt{2}} \right) \\
&= P( Z \geq 1.13 \cdots ) \\
&= 0.1292
\end{align}
$$

よって正解は③である。

Q.8

$$
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\begin{align}
E[X] &= 2.0, \, E[Y] = 3.0, \, E[XY] = 6.3, \, V[X] = 1.0, \, V[Y] = 1.0 \\
U &= 3X-2, \, V = -2Y-4
\end{align}
$$

上記に基づいて$E[U], E[V], E[UV]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[U] &= E[3X-2] \\
&= 3E[X]-2 = 4 \\
E[V] &= E[-2Y-4] \\
&= -2E[Y]-4 = -10 \\
E[UV] &= E[(3X-2)(-2Y-4)] \\
&= – 6E[XY] – 12E[X] + 4E[Y] + 8 \\
&= -41.8
\end{align}
$$

よって共分散$\mathrm{Cov}[U,V]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\mathrm{Cov}[U,V] &= E[UV] – E[U]E[V] \\
&= -41.8 – 4 \times (-10) \\
&= -1.8
\end{align}
$$

また、$V[U], V[V]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
V[U] &= V[3X-2] \\
&= 3^2 V[X] \\
&= 9 \\
V[V] &= V[-2Y-4] \\
&= (-2)^2 V[Y] \\
&= 4
\end{align}
$$

したがって相関係数$r[U,V]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
r[U,V] &= \frac{\mathrm{Cov}[U,V]}{\sqrt{V[U]V[V]}} \\
&= \frac{-1.8}{3 \times 2} \\
&= -0.3
\end{align}
$$

以上より正解は④である。

参考

・【統計検定$2$級対応】統計学入門まとめ
https://www.hello-statisticians.com/stat_basic