3.4.3 母分散の区間推定 〜統計検定2級対応・統計学入門まとめ〜

当まとめでは統計検定$2$級の公式テキストの副教材に用いることができるように、統計学入門に関して取り扱います。当記事では「統計検定$2$級対応 統計学基礎」の$3.4.3$節「母分散の区間推定」の内容を元に$\chi^2$分布を用いた母分散の区間推定について取りまとめを行いました。
統計検定$2$級のテキストとの対応がわかりやすいように、目次を「統計検定$2$級対応 統計学基礎」と対応させました。学びやすさの観点からあえて目次を対応させましたが、当まとめは「統計の森」オリジナルのコンテンツであり、統計検定の公式とは一切関係ないことにご注意ください。

・統計検定$2$級対応・統計学入門まとめ
https://www.hello-statisticians.com/stat_basic

「母分散の区間推定」の概要

概要

当記事では「標本」の「実測値」に基づいて「母分散の区間推定」を行います。区間推定にあたっては自由度$n-1$の$\chi^2$分布を用いて計算を行います。

必要な数学

「区間推定」の結果の導出にあたっては不等号に関する計算がよく出てくるので、抑えておく必要があります。
$$
\large
\begin{align}
\chi^2_{\alpha=0.975}(n-1) \leq \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{\alpha=0.025}(n-1)
\end{align}
$$

上記のような数式を$\sigma^2$に関して解く必要があるので、特に$1/x<1/y$が$x>y$に対応することは必須です。

母分散の区間推定

母分散が未知の場合の母平均の推定

「標本」の確率変数を$X_i \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$と考えるとき、検定統計量$\chi^2$を下記のように考えることができます。
$$
\large
\begin{align}
\chi^2 &= \frac{\sum(X_i-\overline{X})}{\sigma^2} = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \\
\overline{X} &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \\
s^2 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\overline{X})^2
\end{align}
$$

上記の$\chi^2(n-1)$は自由度$n-1$の$\chi^2$分布を表します。ここで標本平均の実現値を$\overline{x}$、不偏標本分散の実現値を$\hat{s}^2$、自由度$n-1$の$\chi^2$分布$\chi^2(n-1)$の上側$\alpha’$点を$\chi^2_{\alpha=\alpha’}(n-1)$のようにおくと、$\displaystyle \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$より$\sigma^2$の$95$％区間に関して下記が成立します。
$$
\large
\begin{align}
\chi^2_{\alpha=0.975}(n-1) \leq \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{\alpha=0.025}(n-1) \quad (1)
\end{align}
$$

上記の$(1)$式は下記のように変形できます。
$$
\large
\begin{align}
\chi^2_{\alpha=0.975}(n-1) \leq & \frac{(n-1)\hat{s}^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{\alpha=0.025}(n-1) \quad (1) \\
\frac{1}{\chi^2_{\alpha=0.025}(n-1)} \leq & \frac{\sigma^2}{(n-1)\hat{s}^2} \leq \frac{1}{\chi^2_{\alpha=0.975}(n-1)} \\
\frac{(n-1)\hat{s}^2}{\chi^2_{\alpha=0.025}(n-1)} \leq & \sigma^2 \leq \frac{(n-1)\hat{s}^2}{\chi^2_{\alpha=0.975}(n-1)}
\end{align}
$$

上記の$\sigma^2$が得られた観測値に基づく母分散$\sigma^2$の$95$％区間であると考えることができます。

$\chi^2$分布の上側％点と自由度

下記の値は概ね抑えておくと良いと思います。

自由度	$10$	$20$	$60$	$120$	$240$
上側$1.0$％点	$23.21$	$37.57$	$88.38$	$158.95$	$293.89$
上側$2.5$％点	$20.48$	$34.17$	$83.30$	$152.21$	$284.80$
上側$5.0$％点	$18.31$	$31.41$	$79.08$	$146.57$	$277.14$
上側$97.5$％点	$3.25$	$9.59$	$40.48$	$91.57$	$198.98$
上側$99.0$％点	$2.56$	$8.26$	$37.48$	$86.92$	$191.99$

発展事項

$\chi^2$分布の確率密度関数の導出は下記で詳しく取り扱いました。

標本分布の変数変換を用いた導出や平均・分散の計算｜問題演習で理解する統計学【5】