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三角関数を用いて定義される回転行列(rotation matrix)は主に$2$次元のベクトルを原点の周りに回転させるベクトルを表しますが、回転行列は直交行列(orthogonal matrix)の一つです。当記事では回転行列が直交行列であることの確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$7$章「内積」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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定義と概要の確認

$2$次の回転行列

$2$次の正方行列で表される回転行列は回転する角$\theta$を元に下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
R(\theta) = \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \sin{\theta} \end{array} \right)
\end{align}
$$

たとえばベクトル$\displaystyle \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right)$に回転行列$\displaystyle R(\theta) = R \left( \frac{\pi}{6} \right)$を作用させると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
R \left( \frac{\pi}{6} \right) \mathbf{x} &= \left( \begin{array}{cc} \displaystyle \cos{\frac{\pi}{6}} & \displaystyle -\sin{\frac{\pi}{6}} \\ \displaystyle \sin{\frac{\pi}{6}} & \displaystyle \cos{\frac{\pi}{6}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle \frac{1}{2} \\ \displaystyle \frac{1}{2} & \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{c} 2 \sqrt{3} \\ 2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} \sqrt{3} \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記の結果はベクトル$\displaystyle \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right)$を原点の周りに$30^{\circ}$回転させ、$\displaystyle \left( \begin{array}{c} \sqrt{3} \\ 1 \end{array} \right)$が得られたと解釈することができる。

直交行列

下記のような式が成立する正方行列$X$を直交行列という。
$$
\large
\begin{align}
X^{\mathrm{T}} X = X X^{\mathrm{T}} = I
\end{align}
$$

回転行列が直交行列であることの確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$148$

$$
\large
\begin{align}
X = \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記のように$X$を定義するとき、$X X^{\mathrm{T}}$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
X X^{\mathrm{T}} &= \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right)^{\mathrm{T}} \\
&= \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \cos^{2}{\theta}+(-\sin{\theta})^{2} & \sin{\theta}\cos{\theta}-\sin{\theta}\cos{\theta} \\ \sin{\theta}\cos{\theta}-\sin{\theta}\cos{\theta} & \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta} & 0 \\ 0 & \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = I
\end{align}
$$

上記より$X$は直交行列である。

ベクトル空間を部分空間(subspace)に分解するにあたっては直和(direct sum)かどうかに着目する必要があります。当記事では直和の定義・部分空間の和が直和かどうかの判定・部分空間の直和分解についてそれぞれ取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$5.1$節「ベクトル空間と部分空間」を主に参考にしました。

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直和

直和の定義

ベクトル空間$V$の部分空間$U, W$に対し、$U \cap W = {0}$が成立する場合、$U$と$W$の和を$U$と$W$の直和といい、$U \oplus W$のように表す。

直和かどうかの判定

ベクトル空間$V$の部分空間$U, W$に対し、下記の$[1], [2]$は同値であるのでどちらかが成立するかを確認すれば良い。
$[1] \,$ $U \cap W = {0}$が成立
$[2] \,$ $U + W$の各要素が$\mathbf{u}+\mathbf{w} \, (\mathbf{u} \in U, \mathbf{w} \in W)$の形に一意に表せる

直和分解

$V = W_1 \oplus \cdots \oplus W_s$を直和分解という。

具体例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$082$

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
U &= \left\{ \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \middle| 2x+y+4z=0, \, x+2y-z=0 \right\} \\
W &= \left\{ \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \middle| -x+2y-6z=0 \right\}
\end{align}
$$

上記に基づいて下記のような連立方程式を得る。
$$
\large
\begin{align}
2x+y+4z &= 0 \\
x+2y-z &= 0 \\
-x+2y-6z &= 0
\end{align}
$$

上記の解は$x=y=z=0$であるので、$U \cap W = \{\mathbf{0}\}$が成立する。よって$U+W$は直和である。

$[2]$
$$
\large
\begin{align}
U &= \left\{ \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \middle| x+z=0 \right\} \\
W &= \left\{ \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \middle| 2x+y+6z=0 \right\}
\end{align}
$$

上記に基づいて下記のような連立方程式を得る。
$$
\large
\begin{align}
x+z &= 0 \\
2x+y+6z &= 0
\end{align}
$$

上記の解の$1$つに$x=1, y=4, z=-1$が得られるので、$U \cap W \neq \{\mathbf{0}\}$が成立する。よって$U+W$は直和ではない。

$[3]$
$$
\large
\begin{align}
U &= \left\{ \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \middle| x-y-z=0 \right\} \\
W &= \left\{ \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \middle| -x+2y+4z=0, \, 2x-y+z=0 \right\}
\end{align}
$$

上記に基づいて下記のような連立方程式を得る。
$$
\large
\begin{align}
x-y-z &= 0 \\
-x+2y+4z &= 0 \\
2x-y+z &= 0
\end{align}
$$

上記の解の$1$つに$x=-2, y=-3, z=1$が得られるので、$U \cap W \neq \{\mathbf{0}\}$が成立する。よって$U+W$は直和ではない。

結果の考察

$[1]$の$U$は$2x+y+4z=0, \, x+2y-z=0$が同時に成立するので、下記のベクトルに基づく直線を表す。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{u} = k \left[\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \in U, \, k \in \mathbb{R}
\end{align}
$$

また、$W$は下記に基づく平面を表す。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{w} = s \left[\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] + t \left[\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] \in W, \, s,t \in \mathbb{R}
\end{align}
$$

ここで$\mathbf{u} = \mathbf{w}$が成立する実数$k,s,t$は$k=s=t=0$のみであるので、$U+W$が直和である。解答では方程式を元に解いたが、このように方程式を元に直線や平面を表すベクトルを得ることで直和かどうか調べることができる。

$[2]$では$U$と$V$がどちらも平面を表すので、$\mathbb{R}^{3}$である以上、二つの平面がベクトルを共有するので直和ではない。

$[1]$と同様に$[3]$の$U$は下記に基づく平面を表す。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{u} = s \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] + t \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \in W, \, s,t \in \mathbb{R}
\end{align}
$$

また、$W$は下記に基づく直線を表す。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{w} = k \left[\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right] \in U, \, k \in \mathbb{R}
\end{align}
$$

ここで$s=-3,t=1,k=1$のとき、$\mathbf{u}$と$\mathbf{w}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{u} &= s \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] + t \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \\
&= -3 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] + \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right] = \mathbf{w}
\end{align}
$$

上記より$U$が表す直線は$W$が表す平面に含まれることが確認できる。よって$U+W$は直和ではない。

基本例題$083$

$$
\large
\begin{align}
W_1 = \left\{ \left[\begin{array}{c} x \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \middle| x \in \mathbb{R} \right\}, \, W_2 = \left\{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array} \right] \middle| y \in \mathbb{R} \right\}, \, W_3 = \left\{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array} \right] \middle| z \in \mathbb{R} \right\}
\end{align}
$$

$\displaystyle \mathbf{e}_{1} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right], \, \mathbf{e}_{2} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right], \, \mathbf{e}_{3} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]$のようにおくと、任意の$\displaystyle \mathbf{v} = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{3}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = x \mathbf{e}_{1} + y \mathbf{e}_{2} + z \mathbf{e}_{3}
\end{align}
$$

上記は一意的に表せるので、$W_1+W_2+W_3$は直和である。

空間ベクトルのベクトル方程式(Vector equation)を用いることで直線・平面を表現することができます。当記事ではベクトル方程式を用いて直線・平面を定義し、式変形を行うことで$x,y,z$を用いた直線や平面の式表現について確認を行います。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$5.3$節「基底と次元」を主に参考にしました。

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ベクトル方程式と直線・平面

空間ベクトル

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{a} = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{3}
\end{align}
$$

空間ベクトル$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{3}$を上記のように定義する。

平面の方程式の導出

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{u} = \left[\begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right], \, \mathbf{v} = \left[\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right], \, \mathbf{w} = \left[\begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記のように定義されるベクトル$\mathbf{u}, \, \mathbf{v}, \, \mathbf{w}$を元に下記のように平面を表すベクトル$\mathbf{a}$を定義する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{a} &= \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \\
\mathbf{a} &= \mathbf{u} + s \mathbf{v} + t \mathbf{w}, \quad s, t \in \mathbb{R}
\end{align}
$$

このとき上記より下記のような空間内の平面の方程式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
& \alpha(x-u_1) + \beta(y-u_2) + \gamma(z-u_3) = 0 \quad (1) \\
& \alpha = v_2 w_3 – v_3 w_2, \, \beta = v_3 w_1 – v_1 w_3, \, \gamma = v_1 w_2 – v_2 w_1 \quad (2)
\end{align}
$$

ここでベクトル$\displaystyle \left[\begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array} \right]$は$\mathbf{v}$と$\mathbf{w}$の外積$\mathbf{v} \times \mathbf{w}$かつ$\mathbf{a}$が表す平面の法線ベクトルに対応する。外積は下記で取り扱った。

ベクトル空間の使用例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$101$

$[1]$
直線を表すベクトルを$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{3}$とおくと、$\mathbf{a}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{a} = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] + t \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より$x-1=y-3=z-2$も得られる。また、$t=2$のとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{a} = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] &= \left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] + 2 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 4 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より直線が点$(2,5,4)$を通ることが確認できる。

$[2]$
直線を表すベクトルを$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{3}$とおくと、$\mathbf{a}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{a} = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] &= \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] + t \left( \left[\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array} \right] – \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] \right) \\
&= \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] + t \left[\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より$\displaystyle x-1 = \frac{y+1}{5} = \frac{z-2}{3}$も得られる。

基本例題$102$

$$
\large
\begin{align}
\overrightarrow{OA} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right], \, \overrightarrow{OB} = \left[\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right], \, \overrightarrow{OC} = \left[\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -5 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より、$\overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{AC}$はそれぞれ下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} \\
&= \left[\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] – \left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right] \\
\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OA} \\
&= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -5 \end{array} \right] – \left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ -8 \end{array} \right]
\end{align}
$$

$(2)$式に基づいて法線ベクトル$\displaystyle \left[\begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array} \right]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\left[\begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array} \right] &= \left[\begin{array}{c} v_2 w_3 – v_3 w_2 \\ v_3 w_1 – v_1 w_3 \\ v_1 w_2 – v_2 w_1 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} 2 \cdot (-8) – (-2) \cdot 4 \\ (-2) \cdot 2 – (-3) \cdot (-8) \\ (-3) \cdot 4 – 2 \cdot 2 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} -8 \\ -28 \\ -16 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より平面の方程式は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
-8(x-1) – 28(y+2) -16(z-3) &= 0 \\
2(x-1) + 7(y+2) + 4(z-3) &= 0 \\
2x + 7y + 4z &= 0
\end{align}
$$

$1$次独立(linearly independent)・$1$次従属はベクトル空間を取り扱う上で基底(basis)の定義に用いられるなど重要な概念です。当記事では関数のベクトル空間が$1$次独立(linearly independent)であるかの判定について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$5.2$節「$1$次独立と$1$次従属」を主に参考にしました。

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関数のベクトル空間の1次独立

1次独立・1次従属の定義

下記で詳しく取り扱いました。

関数のベクトル空間の1次独立

$$
\large
\begin{align}
a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \cdots + a_{n-1} x^{n-1} + a_n x^{n} = 0 \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0
\end{align}
$$

上記が成立するとき$\{ 1, \, x, \, x^2, \, \cdots , \, x^{n-1}, \, x^{n} \}$は$1$次独立である。

具体例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$094$

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 = 0$に$x=0, \, x=1, \, x=-1$を代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
a_0 &= 0 \\
a_0 + a_1 + a_2 &= 0 \\
a_0 \, – \, a_1 + a_2 &= 0
\end{align}
$$

上記より$a_0 = a_1 = a_2 = 0$が得られる。よって$\{ 1, \, x, \, x^2 \}$は$\mathbb{R}$上$1$次独立である。

$1$次独立(linearly independent)・$1$次従属はベクトル空間を取り扱う上で基底(basis)の定義に用いられるなど重要な概念です。当記事では$1$次独立(linearly independent)・$1$次従属の定義と判定について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$5.2$節「$1$次独立と$1$次従属」を主に参考にしました。

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1次独立・1次従属

1次独立の定義

$$
\large
\begin{align}
a_1 \mathbf{v}_{1} + \cdots + a_n \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0
\end{align}
$$

『ベクトル空間$V$に基づく$\mathbf{v}_{1} \in V, \cdots \mathbf{v}_{n} \in V$』と『$a_1 \in \mathbb{R}, \cdots a_n \in \mathbb{R}$』について上記が成立するとき$\{ \mathbf{v}_{1}, \cdots \mathbf{v}_{n} \}$は$1$次独立である。

1次従属の定義

$1$次独立の定義が成立しない場合、$1$次従属である。

1次独立・1次従属の判定

判定法①

$1$次独立の定義が成立する場合は$1$次独立、成立しない場合は$1$次従属であると判断する。

判定法②

ベクトル${ \mathbf{v}_{1}, \cdots \mathbf{v}_{n} }$を並べた行列を$A$とおき、$\mathrm{rank} A = n$であれば$1$次独立、$\mathrm{rank} A < n$であれば$1$次従属であると判断する。

行列$A$のランク$\mathrm{rank} A$は$A$について行基本変形を行い、$A$を階段形に変形することで得ることができる。

具体例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$090$

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{2} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] \right\}
\end{align}
$$

上記に対し、$1 \cdot \mathbf{v}_{1} + 0 \cdot \mathbf{v}_{2}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
1 \cdot \mathbf{v}_{1} + 0 \cdot \mathbf{v}_{2} &= 1 \cdot \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right] + 0 \cdot \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より『$a_1 \mathbf{v}_{1} + \cdots + a_n \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$』が成立しないので$\{ \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2} \}$は$1$次従属である。

$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{2} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \right\}
\end{align}
$$

$a_1 \mathbf{v}_{1} + a_2 \mathbf{v}_{2} = \mathbf{0}$のとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
a_1 \mathbf{v}_{1} + a_2 \mathbf{v}_{2} &= \mathbf{0} \\
a_1 \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right] + a_2 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] &= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right] \\
\left[\begin{array}{c} a_1+a_2 \\ -a_1+a_2 \end{array} \right] &= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記を解くと$a_1=a_2=0$が得られる。『$a_1 \mathbf{v}_{1} + \cdots + a_n \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$』が成立するので$\{ \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2} \}$は$1$次独立である。

$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{2} = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{3} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \right\}
\end{align}
$$

上記に対し、$1 \cdot \mathbf{v}_{1} + 1 \cdot \mathbf{v}_{2} – 3 \cdot \mathbf{v}_{3}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
1 \cdot \mathbf{v}_{1} + 1 \cdot \mathbf{v}_{2} – 3 \cdot \mathbf{v}_{3} &= \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] + \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] – 3 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より『$a_1 \mathbf{v}_{1} + \cdots + a_n \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$』が成立しないので$\{ \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} \}$は$1$次従属である。

基本例題$092$

$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{2} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ a \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{3} = \left[\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right] \right\}
\end{align}
$$

$\displaystyle A = \left[\begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right]$のようにおくと、下記のように行基本変形できる。
$$
\large
\begin{align}
A = & \left[\begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & a & 0 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & a & -4 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & a-4 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記は$a=4$のとき$\mathrm{rank} A = 2$、$a \neq 4$のとき$\mathrm{rank} A = 3$である。よって$a=4$のとき$\{ \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} \}$は$\mathbb{R}$上$1$次従属である。

基本例題$093$

$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left[\begin{array}{c} a \\ -1 \\ 7 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{2} = \left[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{3} = \left[\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 7 \end{array} \right] \right\}
\end{align}
$$

$\displaystyle A = \left[\begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right]$のようにおくと、下記のように行基本変形できる。
$$
\large
\begin{align}
A = & \left[\begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc} a & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \\ a & 3 & -3 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & -a+3 & -3 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -7/2 \\ 0 & -a+3 & -3 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -7/2 \\ 0 & 0 & -(7a-15)/2 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記は$a=15/7$のとき$\mathrm{rank} A = 2$、$a \neq 15/7$のとき$\mathrm{rank} A = 3$である。よって$\displaystyle a = \frac{15}{7}$のとき${ \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} }$は$\mathbb{R}$上$1$次独立である。